专题12 导数的综合应用-名师揭秘2020年高考数学冲刺（理）

专题12导数的综合应用 [高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等． 考点一　导数的几何意义及定积分 [核心提炼] 1．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．4个易出错的导数公式 (1)(sin x)′＝cos x. (2)(cos x)′＝－sin x. (3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)． (4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)． [规律方法] 　曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及求解方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率k，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程． 考点二　利用导数研究函数的单调性 [核心提炼] 　导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性． [规律方法] 　求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集： (1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论． (2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． [注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制． 考点三　利用导数研究函数的极值(最值) [核心提炼] 导数与函数的极值、最值的关系 (1)若在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值． (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得. [规律方法] 利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 【题型】 一、多变量的解题策略 二．极值点偏移的解题方法 三．零点判断与参数 四． 与 共存的解题方法 五． 的替代 六． 多次求导的灵活应用 七．导数与不等式的综合 八．导数与放缩法 【方法规律总结】 一、多变量的解题策略 例1.已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线. （1）求的解析式； （2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围. 练习1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，设的两个极值点为，，证明:. 练习2．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围. 二．极值点偏移的解题方法 例2.已知函数. （1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：. 练习1．已知函数有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）求证：； （3）求证：. 练习2．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间有两个零点，分别为，求证：. 三．零点判断与参数 例3. 已知函数 ，其中 ． （1）若函数 在 内单调递减，求实数 的取值范围； （2）试讨论函数 的零点个数． 练习1．已知函数 , . （1）求函数 的单调递减区间； （2）设 ， . ①求证：函数 存在零点； ②设 ，若函数 的一个零点为 .问：是否存在 ，使得当 时，函数 有且仅有一个零点，且总有 恒成立？如果存在，试确定 的个数；如果不存在，请说明理由. 四