专题15 如何解高考中的三角形题-名师揭秘2020年高考数学冲刺（理）

专题15 如何解高考中的三角形题 正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用 [核心提炼] 1．正弦定理及其变形 在△ABC中，，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝＝＝ 2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. [规律方法] 解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用正弦定理求c，再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，再由A＋B＋C＝π求C，然后由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 解三角形的实际应用 [核心提炼] 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，这时可用正弦定理或余弦定理求解 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未适量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． [规律方法] 解三角形的实际问题的4个求解步骤 (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语、如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出． (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解． (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 解三角形的创新交汇问题 [核心提炼] 相关题目常将三角恒等变换、正弦定理、余弦定理与三角函数、向量、不等式等相结合进行考查，且3种题型均可能出现． [规律方法] 与解三角形有关的交汇问题的求解要点 (1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化． (2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式． 【题型汇总】 一．三角形判断 二．正余弦定理的灵活应用 三．三角形面积问题 四．三角形与向量的综合 五．三角形的角平分线 六．多个三角形的解题方法 七．三角形的中线问题 八．三角形中的范围问题 九．三角形实际应用 【方法总结】 一．三角形判断 例1.在△ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 ，则△ 的形状一定是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形 练习1. ．设在 中,角 所对的边分别为 , 若 , 则 的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 练习2. ．△ABC中, 如果 , 那么△ABC是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 二．正余弦定理的灵活应用 例2. 如图，在 中， 是边 上的点，且 ， ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 练习1. 在 中, ， 在边 上,且 ,则 ( ) A． B． C．5 D． 练习2. ．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， （1）求证： ； （2）若 ， 的外接圆面积为 ，求 的周长． 三．三角形面积问题 例3. 已知 为 的三个内角 的对边， ， 的面积为2，则 的最小值为( ). A． B． C． D． 练习1. 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， ， ． （1）若 ，求角B的大小； （2）在（1）的条件下，且 ， ，求 的面积． 练习2. 在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且 ， . （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积． 练习3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 . （1）求 的值； （2）若 ，△ABC的面积为 ，求边长b的值. 练习4. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，其中 为锐角. （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 边上的高. 四．三角形与向量的综合 例4. 如图所示，在由 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设 ，则（ ） A． B． C． D． 练习1. 已知 中，角 所对的边分别是 ， ，且 . （1）求角 ； （2） ， 为 所在平面内一点，且满足 ，求 的最小值，并求 取得最小值时 的面积 . 五．三角形的角平分线 例5. 如图，在 中， ， ， ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 练习1.