专题19 立体几何中的判断-名师揭秘2020年高考数学冲刺（理）

专题19立体几何中的判断 [高考定位]高考对本讲内容以选择题、填空题的形式考查时，要求学生能利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题；以解答题的形式考查时，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体对线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质进行考查，难度中等． 考点一　空间线面位置关系的判断 [核心提炼] 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决． (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 [规律方法] 　判断空间线面位置关系应注意的问题 解决空间点、线、面位置关系的判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中． [核心提炼] 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. [规律方法]　线面平行及线面垂直的证明方法 (1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．在这里，转化思想在平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法． (2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等． 考点三　空间几何图形的翻折问题 [核心提炼]　解决与折叠有关的问题的两个关键 (1)要明确折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化． (2)在解决问题时，要比较折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形． [规律方法] 立体几何中的翻折问题通常有一定的难度，在解题时，要注意翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化．在本题中，原菱形ABCD的性质(即对角线互相垂直)要充分利用，还要通过计算，借助勾股定理的逆定理证明垂直，这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系，这也是破解此题的关键． 【题型汇总】 一．与球有关的判断． 二．平行垂直判断 三．利用基本定理进行判断 四．翻折问题中的判断 五．空间角的判断 六．空间距离的判断 七．空间中的最值问题 【方法规律示例】 一．与球有关的判断． 例1.已知在矩形中，，，将矩形沿对角线折成大小为的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ） A．四面体的体积的最大值是 B．球心为线段的中点 C．球的表面积随的变化而变化 D．球的表面积为定值 练习1.如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ） A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中，的长是定值 C．若，则； D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是. 二．平行垂直判断 例2．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与所成的角和与所成的角相等 练习1．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中正确的是（ ） A． B．平面平面 C．直线平面 D． 三．利用基本定理进行判断 例3.．下列命题中正确的有（ ） A．空间内三点确定一个平面 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 练习1.．已知正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,下列正确的是（ ） A．平面分正方体所得两部分的体积相等；B．四边形一定是平行四边形； C．平面与平面不可能垂直； D．四边形的面积有最大值. 四．翻折问题中的判断 例4.在边长为2的等边三角形中，点分别是边上的点，满足 且，（），将沿直