3、例谈由全等到相似-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

例谈由全等到相似 ■余少华 中学的平面几何是一个比较复杂的内 容,在各种考试中占的比例都很大,是同学们 比较头疼的问题。同学们在学习的过程中, 要多对题目进行总结归纳、类比迁移,真正理 解几何模型及它们的特征,从而达到事半功 倍的效果。下面我们来看这样一组例题。 例1 已知:△ACB 和△DCE 都是等腰 直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接 AE,BD 交于点O,AE 与DC 交于点M,BD 与AC 交于点N。 (1)如图1所示,求证:AE=BD。 (2)如图2所示,若AC=DC,在不添加 任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四 对全等的三角形。 图1 图2 解:(1)因为△ACB 和△DCE 都是等腰 直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以 AC = BC,DC = EC。 所 以 ∠ACB + ∠ACD= ∠DCE + ∠ACD,即 ∠BCD = ∠ACE。 在 △ACE 与 △BCD 中, AC=BC, ∠ACE=∠BCD, CE=CD, ì î í ïï ïï 所 以 △ACE ≌ △BCD (SAS),所以AE=BD。 (2)由题意得∠ACB=∠DCE,AC= BC,DC=EC。因为 AC=DC,所以 AC= CD =EC =CB,所 以 △ACB ≌ △DCE (SAS)。由 (1)可 知,∠AEC = ∠BDC, ∠EAC=∠DBC,所以∠DOM=90°。又因 为 ∠AEC = ∠CAE = ∠CBD,∠ACB = ∠DCE,所以∠MCE=∠NCB。又 CE= CB,所 以 △EMC≌ △BNC(ASA),所 以 CM=CN,所以 DM=AN,所以△AON≌ △DOM(AAS)。因为DE=AB,AO=DO, 所以Rt△AOB≌Rt△DOE(HL)。 由这个模型还可以得到以下常见结论: ∠BOE=90°,OC 平分∠BOE,OE=OB。 图3 例2 如图3所示, △ADE,△FBC 为等腰 直角三角形,斜边 EA, FB 在同一直线上,连接 BD 交FC 于点N,连接CE 交AD 于点M, 连接 MN。 (1)证明:AM=FN。 (2)证明:MN 与BE 平行。 证明:(1)因为△ADE,△FBC 为等腰直 角三角形,所以∠DAE=∠CBE=45°,所以 AD∥BC。同理,DE∥CF。所以△AME∽ △BCE,△BNF∽△BDE,所以 AM BC = AE BE , FN DE = BF BE 。所 以 AM = AE·BC BE ,FN = DE·BF BE 。又 因 为 AE = 2DE,BF = 2BC,所以AM=FN。 (2)过 M 作MH⊥AE,NK⊥BE,垂足 为 H,K。由 题 意 知,∠DAE=∠CFB= 45°, 在 △AMH 与 △FNK 中, ∠MHA=∠NKF, ∠HAM=∠KFN, AM=FN, ì î í ïï ïï 所以△AMH≌△FNK (AAS),所以 MH=NK。因为∠MHA= ∠NKB=90°,所以 MH∥NK。 两个例题的基本模型都是等腰直角三角 形,一个是手拉手共顶点问题,一个是不共顶 点问题,一个是全等,一个是相似。共同点是 都要用到边和角的等量关系,不同点是等量 关系所用的结论不同。 小结:三角形的全等与相似是平面几何 的基础,在学习的过程中,有不少同学因为这 一部分内容太难而丧失了对数学学习的兴 趣。因此,在学习的过程中,同学们要多总结 基本题型,多前后对比,提升学习兴趣,提高 解决问题的能力。 作者单位:湖北省宜昌市外国语初级中学 8 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年5月 $$