5、高中数学解题中函数思想的应用-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

高中数学解题中函数思想的应用 ■杨雪敏 在数学解题中应用函数思想,可以将复 杂难懂的数学问题转化成同学们熟悉的函数 模型,运用函数基础知识顺利解决问题。但 是如何将函数思想灵活地应用在数学解题 中,是同学们面临的最大问题,下面就此进行 分析,希望能起到抛砖引玉的作用。 1.在方程解题中的应用 方程直接贯穿整个高中数学的学习生 涯,其重要性不言而喻。同学们在解决方程 问题时,可以将函数思想应用其中,将复杂的 方程公式转化成函数模型,利用函数基础知 识达到顺利解决问题的目的,以此提高解决 方程问题的准确性。在高中数学的学习中, 方程问题比较容易出错,常常会因为计算错 误而影响最终结果的准确性。而函数思想的 应用,可以将方程中的未知数以对应关系的 方式呈现出来,利用函数图像的方式确定最 终结果,提高了解题效率和准确性。 例如,已知方程x2-ax-bx+ab=2有 两个根,其中a<b,求方程的两个根与a、b 大小的关系。 同学们刚看到这一问题时,会感到非常 迷茫,不知道应该从哪里入手,问题中未知量 过多,无法确定最终的答案。而函数思想的 应用,可以将方程问题转化成函数问题,通过 函数与图像的结合,确定问题的答案。根据 函数特点,先将方程x2-ax-bx+ab=2转 化成f(x)=(x-a)(x-b)-2,f1(x)= (x-a)(x-b)的形式。然后根据函数方程 画出两个不同的图形(图像略),确定函数图 像的开口方向,最终得到方程的两个根与a、 b之间的大小关系。 2.在数列解题中的应用 函数与数列之间具有比较密切的关系。 数列作为高中数学学习的一部分,不仅是学 习的重点,也是高考考查的重点内容。应用 函数思想解决数列问题时,可以将数列的项 定义为函数的值、序号定义为函数中的自变 量。通过知识的转化,将数列问题简单化、具 体化,以此提高解决问题的效率。 例如,已知S2n=4n2+2n+1,求Sn。 同学们在解决这一问题时,容易受到惯 性思维的影响导致解题错误。实际解题中, 可以先利用函数思想将问题转变成函数的形 式,如f(2n)=4n2+2n+1。然后利用函数 知识中的换元法,用n 代替2n,得到函数公 式f(n)=n2+n+1,最终得到数列的和Sn。 3.在不等式解题中的应用 不等式问题中会涉及区间、最值的问 题。当同学们遇到不等式求值或者值域区 间的问题时,常常会出现无从入手的情况。 函数思想的应用,可以帮助大家厘清解题 思路,使同学们快速发现解答这一问题的 方法与技巧。 例如,已知函数f(x)在定义域(0,+∞) 上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y), 若f(3)=1,求不等式f(x)+f(x-8)≤2 的解。 解决上述问题时,先利用函数思想将不 等式转化成函数f(x)形式,然后利用已知条 件f(3)=1,f(xy)=f(x)+f(y),进行分 析,确定解题思路。解题过程:由f(3)=1, 得f(9)=f(3)+f(3)=2,因为f(x)+ f(x-8)=f[x(x-8)],所以f[x(x-8)]≤ f(9),f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, 解不等式,最终得到原不等式的解为{x|8< x≤9}。 结束语:综上所述,函数思想可以应用在 解答方程问题、数列问题、不等式问题中,能 够将问题简单化,可以提高答案的准确率。 所以,在数学学习中,同学们应重视该思想方 法的学习及应用,以此提高解决问题的能力, 提升知识应用的能力。 作者单位:安徽省阜阳市太和县太和一中 01 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年5月 $$