6、导数隐零点的常规解题方法-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

导数隐零点的常规解题方法 ■关 飞 函数的零点与函数的单调性、极值、最值 及函数的图像密切相关,因其蕴含的函数与 方程、等价转化的数学思想而备受命题人的 青睐,成为高考考查的重点和热点。而对隐 零点问题的考查也经常出现在各类联考中。 因此同学们需要掌握隐零点问题的两种常规 题型的解题方法。 题型一:特值试根,借助二次求导加以验证 例1 已知f(x)= ex-1 1+lnx ,求f(x)的 单调区间。 解:依题意有x>0且x≠ 1 e ,f'(x)= ex-1(1+lnx- 1 x ) (1+lnx)2 且f'(1)=0。令g(x)= 1+lnx- 1 x ,g'(x)= 1 x+ 1 x2>0 ,所以g(x) 在定义域上单调递增,且g(1)=0。所以当 x∈ 0, 1 e( ), 1 e ,1( ) 时,g(x)<0,即f'(x)< 0,f(x)单 调 递 减;当 x∈ (1,+ ∞)时, g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单调递增。 我们知道f'(x)的变号零点是f(x)的 极值点和单调区间的端点,故解决此类型题 的两个关键步骤为:步骤一,由f'(x)=0得 1+lnx- 1 x=0 ,试根x=1;步骤二,构造函 数g(x)=1+lnx- 1 x ,二次求导得到g(x) 的单调性(此时g(x)必须具有严格的单调 性),说明g(x)的图像与x 轴有唯一交点,从 而可以判定g(x)即f'(x)的正、负,进而得 到f(x)的单调性等。 题型二:设而不求,借助零点存在性定理 加以说明 例2 已知函数f(x)=(kx-1)ex- k(x-1)。若存在x∈R,使得f(x)<0成 立,求整数k的最大值。 解:由f(x)<0得k(xex-x+1)<ex, 即k[x(ex-1)+1]<ex(⊗)。当x≥0,ex≥ 1,ex-1≥0,x(ex-1)+1>0;当x<0,ex< 1,ex-1<0,x(ex-1)+1>0。所以当x∈R 时,总有x(ex-1)+1>0。当k≤0时(⊗) 式恒 成 立;当 k>0, 1 k > xex-x+1 ex 。令 g(x)= xex-x+1 ex ,g'(x)= ex-2+x ex , φ(x)=ex-2+x,φ'(x)=ex+1>0,所以 φ(x)为R上的增函数。 又φ(0)=-1<0,φ(1)=e-1>0,所以 ∃x0∈(0,1)使φ(x0)=0,即ex0 =2-x0 (*)。当 x∈ (- ∞,x0),φ(x)<0,即 g'(x)<0,g(x)单 调 递 减;当 x∈ (x0, +∞),φ(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递 增。所以g(x)min=g(x0)= x0ex0-x0+1 ex0 = x0(2-x0)-x0+1 2-x0 =x0-2+ 1 x0-2 +3。令 2-x0=t∈(1,2),y=-t- 1 t+3∈ 1 2 ,1( ), g(x)min∈ 1 2 ,1( ),所以 1 k>g (x)min,所以0< k< 1 g(x)min 。又k∈Z,所以0<k≤1。 综上可得k≤1,故k的最大值为1。 题型二有两类: (1)根据单调性确定极值点的个数。解 题的两个关键步骤为:步骤一,因g'(x)的零 点不可求,需二次求导判断g'(x)的单调性 (此时g'(x)必须具有严格的单调性);步骤 二,设g'(x)=0的根为x0,试值找到区间 (a,b),使x0∈(a,b),且g'(a)g'(b)<0,进 而可得g(x)的单调区间及极值点的情况。 (2)求极值、最值的取值范围。解题的三 个关键步骤为:步骤一,同类型一的步骤一; 步骤二,由g'(x)=0得到关于x0 的等式,即 为(*)式,然后同类型一的步骤二;步骤三, 在求极值或最值范围时,要根据(*)式进行 恰当的等量替换,从而得到我们所熟悉的求 函数值域的模型,使问题得以解决。 作者单位:辽宁省本溪市第一中学 11 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年5月 $$