7、新课程标准下高中数学解题思想架构的思路-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

新课程标准下高中数学解题思想架构的思路 ■李永伟 在新课程标准下,同学们要重视数学解题 思想的架构,并结合自己的实际情况,确定有 效的解题思路,以促使自身数学思维的形成。 一、数形结合思想 例如:直线l的方程为x=- p 2 (p>0), 椭圆的中心为点 A 2+ p 2 ,0( ),焦点在x 轴 上,其长半轴和短半轴分别为2,1,左顶点为 B p2 ,0( ),分析p 的具体取值范围,使得椭圆 上有四个不同的点,它们中的每一个点到B 的距离等于该点到直线l的距离。 在解答该题时,可以基于抛物线的含义 来分析,思考“在p 的数值为多少时,以B 为 焦点、l为准线的抛物线和椭圆的交点为四 个”。具体解决步骤如下: 已知a=2,b=1,B p2 ,0( ),设抛物线和 椭 圆 的 方 程 分 别 为 y2 = 2px, x- 2+ p 2( )[ ] 4 2 +y2=1。将y 消掉,得x2+ (7p-4)x+ 2p+ p2 4( )=0。抛物线与椭圆 有四个交点,等价于上述关于x 的一元二次 方程 有 两 个 相 异 的 正 根,其 充 要 条 件 为 Δ=(4-7p)2-4 p2 4+2p( )>0, 7p-4>0, p2 4+2p>0 , ì î í ï ï ï ï ïï 在p>0的 条件下,解此不等式组,得0<p< 1 3 ,故所求 的p 的范围为 0, 1 3( )。 数形结合思想能将抽象的数学知识和直 观的图像相结合,如代数问题体现几何化,几 何问题转变为代数问题,都能为数学问题的 解决提供有效方法。 二、分类探讨思想 例如:体育教师在3个箱子中分别放入9 个相同的足球,其编号分别为1,2,3,…,9, 求在每个箱子中放入的个数多于编号时,不 同的放球方法。 首先,将2号盒子中放入1个球,将2个小 球放入到3号盒子中,剩下的6个小球排列为 ○○○○○○,在这6个小球的5个空位中,可 以插入2个挡板,其排列为○○|○○|○,每个 放法都为一种方法,其放法共有C25=10(种)。 分类讨论思想的主要表现是化整为零。 在实际解题中,通过对该思想的使用,能予以 对象和全体范围的思考,确立出分类的标准, 实现分级探讨,也能获得有效结果。 三、函数方程思想 例如:设a>0,a≠1,已知方程loga(x- ak)= 1 2loga (x2-a2),分析实数k的取值范围。 解答该题时可以通过换底公式换底,当 出现同底后实现等价转换获得方程。根据分 离参数分析式子,基于三角换元法分析出三 角函数的值域。原方程化为loga(x-ak)= loga x2-a2。①x-ak>0;②x-ak= x2-a2 (a>0,a≠1)。所 以 k= x a - x a( ) 2 -1 xa >1( ),设 x a =cscθ ,θ∈ - π 2 ,0( )∪ 0,π2( ),则k=f(θ)=cscθ- cotθ 。当θ∈ - π 2 ,0( ) 时,得出f(θ)= cscθ+cotθ=cot θ 2<-1 ,所以k<-1。当 θ∈ 0, π 2( ) 时,得出 f(θ)=cscθ-cotθ= tan θ 2∈ (0,1),所以0<k<1。 函数方程思想是基于函数的概念和函数 的性质来分析问题的,在用于解答问题时,大 家要明确数量关系,利用数学语言来转换条 件,促使数学模型的形成,如方程、不等式等, 最终实现对问题的充分解决。 作者单位:山东省青岛市即墨区市北中学 21 基础数学 名师讲座 自主招生 2020年5月 $$