8、利用30°角构造三角形外心解题-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

利用30°角构造三角形外心解题 ■申 敏 30°角作为数学中一个非常常见而又简 单的特殊角,其有着特殊的性质。笔者通过 对近几年平面几何中含30°角(或能构造出 30°角)的试题的研究,发现很多试题可以用 统一的解法来解答,即本文所介绍的构造内 角为30°的三角形的外心,利用三角形外心的 性质解决问题。 1.求角问题 图1 例1 如图1所示,已 知点 P 在△ABC 内,满足 ∠ABP=20°,∠PBC=10°, ∠ACP=20°和∠PCB=30°, 则∠CAP 为多少度? 解:如 图 1 所 示,取 △BCP 的外心为点 O,连接 OB,OC,OP,则 ∠BOP=2∠BCP=60°,从而△BOP 为正三角 形。由题意得∠CBO=∠ACB=50°,所以OB∥ AC。又易得∠BAC=∠OCA=100°,于是梯形 BOCA 为等腰梯形。因此 BA=OC=OB= BP,从而∠BAP=80°,故∠CAP=20°。 注:本题也可证△ABP≌△COP。 图2 2.证明线段相等问题 例2 如图2所示,已 知 △ABC 中,BA =BC, ∠ABC =80°,∠BCD = 20°,∠CAD=10°。求证: AB=AD。 证明:如图2所示,取 △ACD 的外心为点O,连接 OA,OB,OC, OD。由题意得∠ACD=30°,所以∠AOD= 2∠ACD=60°,从而△AOD 为正三角形。由 BA=BC,OA=OC 易知OB 垂直平分AC, 于 是 ∠ABO = 1 2∠ABC= 40° 。 因 为 ∠OAC= ∠OAD - ∠CAD =50°,所 以 ∠AOB=40°,故AB=AO=AD。 注:本题也可以由∠OAC=50°易知四边 形OABC 为菱形得证,或由∠OAC=50°证 明△ABC≌△AOC 来求证。 3.证明等式问题 图3 例3 (《中等数学》 2009年 第 4 期 初 248 题)如 图 3 所 示,在 △ABC 中,AD 为内角 平分线,∠ADC=60°, 点 E 在 AD 上,满 足 DE=DB,射线 CE 交 AB 于点F。求证: AF·AB+CD·CB=AC2。 证明:如图3所示,取△BCE 的外心为点 O,连接OC,OE,连接DO 并延长交AB 于点 G。因 为 ∠EDC =60°,DE =DB,所 以 ∠EOC=2∠EBC=60°,从而E,O,D,C 四点 共圆。于是∠EDO=60°,进 而 有△ADC≌ △ADG,所 以 DC=DG。又 易 知∠BDG= 60°=∠EDC,所 以 △BDG≌ △EDC,于 是 ∠DEC=∠DBG,故B,D,E,F 四点共圆。因 为S△ABD -S△BDG=S△ACD,所 以 BD·AD- BD·CD=AD·CD,故AF·AB+CD·CB= AE·AD+CD·CB=(AD-BD)·AD+ CD·(CD+BD)=AD2-BD·AD+CD2+ BD·CD=AD2-AD·CD+CD2=AC2。 4.其他问题 图4 例4 如图4所 示,已知 D 是△ABC 的 AC 边 上 一 点, AD∶ DC =2∶1, ∠C=45°,∠ADB= 60°。求证:AB 是△BCD 的外接圆的切线。 证明:如图4所示,在BD 上取点E 使得 ∠DAE=30°。设△ADE 的外心为点O,则O 为AD 的中点。连接OE,CE,显然△ODE 为 正三角形。因为AD=2DC,∠ADB=60°,所以 ED=OE=OA=CD。又∠AOE=∠CDE= 120°,从而△DCE≌△OAE,于是EA=EC。又 由∠C=45°得∠EBC=∠ECB=15°,所以EB= EC=EA。因此∠ABD=45°=∠C,故AB 是 △BCD 的外接圆的切线。 作者单位:四川省绵阳北川中学 31 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年5月 $$