9、一道合情推理的三角恒等式变式的探究-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

一道合情推理的三角恒等式变式的探究 ■范广哲 2016年全国高考山东卷文科第12题, 得 到 一 个 结 论,即 sin π 2n+1( ) -2 + sin 2π 2n+1( ) -2 + sin 3π 2n+1( ) -2 + … + sin 2nπ 2n+1( ) -2 = 4n(n+1) 3 ,及一系列优美的 三角恒等式[1]。笔者经过一番探究,给出其 变式,同样得出一系列优美的三角恒等式,现 整理成文,与大家分享。 1.变式呈现 试题:观察下列等式: sin π 5sin 2π 5= 5 4 ,sin π 7sin 2π 7sin 3π 7= 7 8 ,sin π 9sin 2π 9sin 3π 9sin 4π 9= 9 16= 3 16 ,…照 此规律可得sin π 2n+1sin 2π 2n+1sin 3π 2n+1 · …·sin nπ 2n+1=∏ n k=1 sin kπ 2n+1= … 2.证法探究 证明:设A0,A1,…,An-1是复平面单位 圆上 的 n 个 等 分 点,有 ∠A0OAk = 2kπ n , A0Ak→=2sin∠A0OAk2 =2sin kπ n (k=1,2, …,n-1)。与 A0,A1,…,An-1对应的复数 z0,z1,…,zk-1是方程zn-1=0的n个根,显 然有(z-z0)(z-z1)(z-z2)·…·(z- zn-1)=zn-1。当z≠z0 时有(z-z1)(z- z2)·…·(z-zn-1)= zn-1 z-z0 ,|z-z1||z- z2|·…·|z-zn-1|= zn-1 z-z0 。在上式中, 令 z→z0,并 利 用 洛 必 达 法 则,就 得 到 ∏ n-1 k=1 2sin kπ n=A0A1 →×A0A2→×…×A0An-1→= |z0-z1||z0-z2|·…·|z0-zn-1|= lim z→z0 zn-1 z-z0 =lim z→z0 (zn-1)' (z-z0)' =lim z→z0 nzn-1 1 = |nzn-10 |=n|z0|n-1=n×1n-1=n。 sin π nsin 2π nsin 3π n ·…·sin (n-1)π n = ∏ n-1 k=1 sin kπ n= n 2n-1 ① 。P= ∏ n k=1 sin kπ 2n+1= ∏ n k=1 sinπ- kπ 2n+1( )= ∏ n k=1 sin (2n+1-k)π 2n+1 = ∏ n k=1 sin kπ 2n+1 。由①可知有 P2=∏ n k=1 sin kπ 2n+1 ∏ 2n k=n+1 sin kπ 2n+1= ∏ 3n k=1 sin kπ 2n+1= 2n+1 2(2+n)-1 = 2n+1 22n ,所 以 sin π 2n+1sin 2π 2n+1 · … · sin nπ 2n+1=∏ n k=1 sin kπ 2n+1=P= 2n+1 22n = 2n+1 2n ② 。 3.触类旁通 那么对于其他的三角恒等式的三角函数 有没有类似①式的恒等式呢? 经探究有如下 结论:sin π 2nsin 2π 2nsin 5π 2n ·…·sin (2n-1)π 2n = ∏ n k=1 sin (2k-1)π 2n = 1 2n-1 ③ 。 证明:由①可知有sin π 2nsin 2π 2nsin 3π 2n · sin 4π 2n ·…·sin (2n-2)π 2n sin (2n-1)π 2n = ∏ 2n- k=1 sin kπ 2n= 2n 22n-1= n 22n-2 ,sin 2π 2nsin 4π 2n ·…· sin (2n-2)π 2n =∏ n-1 k=1 sin 2kπ 2n =∏ n-1 k=1 sin kπ n = n 2n-1 。 上面两式相除,就得到sin π 2nsin 3π 2nsin 5π 2n · …·sin (2n-1)π 2n = ∏ 2n-2 k=1 sin kπ 2n ∏ n-1 k=1 sin kπ n = n 22n-2 n 2n-1 = 1 2n-1 , cos π 2n+1cos 2π 2n+1cos 3π 2n+1 · … · cos nπ 2n+1=∏ n k=1 cos kπ 2n+1= 1 2n ④ 。 41 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年5月 证 明: 设 P = ∏ n k=1 cos kπ 2n+1 = ∏ n k=1 sin π2- kπ 2n+1( )=∏ n k=1 sin (2n+1-2k)π 2(2n+1) = ∏ n k=1 sin (2k-1)π 2(2n+1)= ∏ n k=1 sin π- (2k-1)π 2(2