10、另辟蹊径柳暗花明-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

另辟蹊径 柳暗花明 ———2019年高考数学江苏卷第12题中难点突破的物理思想 ■王恩普1 高兆梅2 历年来的江苏卷很注重对考生综合能力 的考查,2019年高考数学第12题更是体现 了这一特点,下面具体分析。 1.试题呈现 图1 如图1所示,在 △ABC 中,D 是 BC 的中点,点E 在 边 AB 上,BE = 2EA,AD 与CE 交 于 点 O。若AB→· AC→=6AO→·EC→,则ABAC的值是 。 2.思路分析 本题中所求为 AB 与AC 的比值,所以 容易想到以AB,AC 为基底,条件中的AO, EC 只要能够用AB,AC 来表示即可,而EC 表示很容易,所以主要的问题在于 AO 的表 示。求解此题的思路大概有如下两大类(鉴 于本文讨论的方向,只给出AO 的表示)。 图2 思路1:平面几 何。如图2所示,过 点D 作EC 的平行 线交AB 于点F,因 为D 是中点,DF∥ EC,则F 为BE 的中点,而BE=2EA,则有 AF=2AE。又EO∥DF,则O 是AD 的中 点,到此AO 的表示即可解决。 思路2:共 线 定 理。设AO→=λAD→,则 AO→=λ2(AB →+AC→)=λ2(3AE →+AC→)= 3λ 2AE →+λ2AC →,而E,O,C三点共线,则有3λ2+ λ 2=1 ,即λ= 1 2 ,到此AO 的表示亦可解决。 其实,无论是用平面几何,还是运用共线 定理,都是为了解决AO 与AD 之间的关系, 进而把AO→用AB→,AC→表示出来。但是上面我 们也分析了,真正解决这一比例关系是这个 问题的难点,下面我们用物理方法来突破这 个难点。 3.解法探索 我们先来了解一下物理中的杠杆原理,杠 杆平衡原理的数学表达形式为“动力×动力 臂=阻力×阻力臂”。应用杠杆平衡原理解决 几何线段比值问题,关键在于将图形中的各个 交点视为受力点,从而利用两个同向平行力的 法则“合力的大小等于两个分力的和,两分力 对于以合力作用点为支点的合力矩等于零”, 图3 即如 图3所 示,利 用 F=F1+F2,∑MO = 0,或 F1·OA=F2· OB 来解题。 再回到 上 述 提 到 的2019年高考数学试 题中,因为BE=2AE,所以我们把E 看成支 点,如果在B 处挂一个重为1N的物体,根据 杠杆平衡原理,则在A 点挂一个重为2N的 物体,杠杆AEB 就可以平衡了,此时E 点所 受合力为1N+2N=3N。同理,由于BD= DC,要保持杠杆BDC 平衡,C 处要挂一个重 为1N的物体,此时D 点所受合力为1N+ 1N=2N。再看杠杆AOD,因为A,D 两点 都挂有重为2N的物体,所以要保持平衡,O 点应该是AD 的中点,即AO= 1 2AD ,到此困 扰我们的难点也就随之解决了。 在解答数学问题时,若运用常规思路遇 到困难时,同学们可以换个思维,站在数学学 科外往往会有不一样的发现,如果可以运用 好这一点,同学们的学习能力和解答问题的 能力将会得到很大的提升。 作者单位:1.江苏省淮安市新淮高级中学 2.江苏省淮安市郑梁梅中学 61 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年5月 $$