11、巧作辅助线妙解圆问题-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

巧作辅助线 妙解圆问题 ■任 杰 在中学阶段,同学们学习了圆的定义、圆 的性质、圆的数学规律,在进行圆知识的习题 训练中,常遇到一些看上去无法下手的问题, 此时如果能够熟练应用圆的半径、直径、切线 等,灵活根据需要适当添加一些辅助线,往往 就会有“豁然开朗”的感觉。下面举例说明。 一、作半径构造等腰三角形 求解圆的边角关系问题时,通过作圆的 半径,可以利用“同圆的半径相等”构造等腰 三角形,从而把看上去毫无关联的线段、角的 问题转化到等腰三角形中,利用三角形的边 角关系进行解答。 图1 例1 如图1所 示,已 知 AC 是☉O 的直径,点B 在圆周 上(不 与 点 A、C 重 合),点D 在AC 的延 长线上,连接 BD 交 ☉O 于点E。若∠AOB=3∠D。求证:DE= OB。 证明:连接 EO,因为∠AOB=∠D+ ∠B,∠AOB=3∠D,所以∠B=2∠D。因 为 OB =OE,所 以 ∠OEB = ∠B。因 为 ∠OEB= ∠DOE + ∠D,所 以 ∠DOE = ∠D,所以 DE=OE。因为 OE=OB,所以 DE=OB。 评析:本题通过先作辅助线半径OE,构 造出等腰三角形OBE,然后利用等腰三角形 的两底角相等和三角形的外角等于不相邻的 两个内角的和的性质,顺利转化了初看毫无 关系的线段DE 与OB 的长度关系。 二、作圆的弦构造圆心角或圆周角 当所求圆的问题中已有半径或直径时, 通过作圆的弦,可以利用“同一条弦所对的圆 周角等于圆心角的一半”“直径所对的圆周角 是直角”等圆心角与圆周角的特殊性质,顺利 求得圆中其他角度的大小等。 例2 如图2所示,AB 为☉O 的直径, 弦CD 与 AB 相交于点 E。已知∠ACD= 图2 55°,∠ADC = 50°,求 ∠CEB 的度数。 解:连 接 BD,因 为 AB 为☉O 的 直 径,所 以 ∠ADB =90°。又 因 为 ∠ADC=50°,所以∠CDB= ∠ADB- ∠ADC =40°。因 为 ∠CDB 与 ∠CAB 是同弧所对的圆周角,所以∠CDB= ∠CAB =40°。所 以 ∠CEB = ∠CAB + ∠ACD=40°+55°=95°。 评析:本题中有一条直径,要求的是角 度,作弦BD,可以利用直径所对的圆周角是 直角、同圆中同弧所对的圆心角相等这两个 圆心 角 定 理 的 推 论,轻 松 求 得 ∠CEB 的 度数。 三、过圆心作弦的垂线构造直角三角形 当所求圆的问题中已有半径和弦时,通 过作弦的垂线,可以利用垂径定理及其推论, 结合构造出的直角三角形的边角关系,求解 线段和角度的大小。 例3 已知☉O 的半径为2cm,弦 AB 为23cm,求弦AB 所对应的圆周角。 图3 解:根据题意作☉O 和 弦AB,如图3所示,过圆心 O 作OD⊥AB 交AB 于点 D。在 Rt △AOD 中,有 sin∠AOD=sin∠AOD= AD OA = 3 2 1 = 3 2 ,所 以 ∠AOD=60°,∠AOB=120°。当弦AB 所对 的 圆 周 角 在 优 弧 上 时,有 ∠AP1B = 1 2∠AOB=60° ;当弦AB 所对的圆周角在劣 弧上时,有∠AP2B=180°-60°=120°。 评析:本题不仅要求同学们能够作出过 圆心的弦的垂线这一辅助线,而且要求同学 们能 够 注 意 到 多 解 问 题,难 度 稍 大,要 求 稍高。 作者单位:江苏省宜兴市丁蜀实验中学 71 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年5月 $$