12、三个二次巧转化,数学问题妙求解-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

三个二次巧转化,数学问题妙求解 ■李倩倩 一 元 二 次 不 等 式 与 其 对 应 的 二 次 函 数、一元二次方程三者之间存在着密切的 联系。同学们在解决相应的数学问题时, 要充分注意三个“二次”之间的相互联系, 并在一定条件下可以相互转换与应用。数 形结合思想是解决二次方程、二次函数和 二次不等式问题中的重要数学思想之一, 具体解题时,要充分利用图像的直观性反 映相应问题的本质,重视用函数观点处理 相应的方程或不等式问题。 1.二次方程的转化 在解决二次方程的根的存在、根所在的 区间等问题时,利用二次方程所对应的二次 函数的图像与性质来转化,综合相应不等式 (组)的求解来达到分析与求解的目的。 例1 已知关于x 的一元二次方程x2+ 2mx+2m+1=0有两个根x1,x2,其中x1∈ (-1,0),x2∈(1,2),求m 的取值范围。 解析:设f(x)=x2+2mx+2m+1,根 据题意,画出示意图如图1所示,由图可得, 图1 m 满 足 不 等 式 组 f(0)=2m+1<0, f(-1)=2>0, f(1)=4m+2<0, f(2)=6m+5>0, ì î í ï ïï ï ï 解 得- 5 6<m<- 1 2 。 2.二次函数的转化 同学们在解决二次函数的解析式、确定 二次函数的图像等问题时,可把问题转化为 与之相关的方程根的分布问题、不等式的求 解问题,结合数形结合思想,通过函数、方程 与不等式之间的相互关系,巧妙转化,达到求 解的目的。 例2 已知二次函数 f(x)=mx2- 2mx-1(m≠0),若对于 x∈[1,3],函数 f(x)的图像恒在y=-2m+4的下方,求实 数m 的取值范围。 解析:由题意可知f(x)<-2m+4在 [1,3]上恒成立,则 mx2-2mx+2m-5< 0,即 m(x-1)2+m-5<0在x∈[1,3] 上恒成立。令g(x)=m(x-1)2+m-5, x∈[1,3]。 当 m>0时,g(x)在[1,3]上 是 增 函 数,所以g(x)max=g(3)=5m-5<0,解得 m<1,则0<m<1; 当 m<0时,g(x)在[1,3]上 是 减 函 数,所以g(x)max=g(1)=m-5<0,解得 m<5,结合条件可得 m<0。 综上可知,实数 m 的取值范围是{m| m<0或0<m<1}。 3.二次不等式的转化 对于一元二次不等式的恒成立问题,往 往根据相应的二次函数图像与x 轴的交点情 况来确定对应的判别式的符号,以及结合一 元二次方程的根、判别式公式等来转化,进而 解决相应的恒成立问题。 例3 试问是否存在实数 m,对x∈R, 不等式mx2-2x-m+2<0恒成立? 若存 在,则求出实数m 的取值范围;若不存在,请 说明理由。 解析:若不等式mx2-2x-m+2<0恒成 立,则知函数f(x)=mx2-2x-m+2的图像 全部在x轴的下方。当m=0时,原不等式可 化为2-2x<0,解得x>1,不满足题意x∈R; 当m≠0时,此时函数f(x)=mx2-2x-m+2 为二次函数,则需满足二次函数的图像开口向 下且相应的二次方程mx2-2x-m+2=0无 解,则有 m<0, Δ=4-4m(2-m)<0,{ 此不等式组的 解集为空集,即m 无解。综上可知,不存在这样 的实数m 使得不等式mx2-2x-m+2<0恒 成立。 作者单位:河北定州中学 81 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年5月 $$