13、一道数学模拟题的命制历程与反思-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

一道数学模拟题的命制历程与反思 ■韦文月 在中学数学中考查平面几何的综合运用试 题,常以三角形或四边形为载体,考查角度或线 段长度的计算、线段的位置关系和数量关系、动 点问题的最值、特殊三角形的存在性等。下面 将一道数学竞赛题改编为中等难度的几何综合 运用题,来谈谈对平面几何题目命制的感悟。 图1 竞赛原题:如 图 1 所 示,在 三 角 形 ABC 中, AB=AC,D 是 BC 的 中 点,点 E 在射线 AC 上运 动,连接 ED,作∠EDF= ∠BAC,且点F 满足DE= DF,G 是AB 的中点,直线 FG,AC 交于点H,证明:BH⊥AC。 图2 改编题:如图2所示, 在三 角 形 ABC 中,AB= AC,D 是BC 的中点,点E 在射 线 AC 上 运 动,连 接 ED,作∠EDF=∠BAC, 且点F 满足DE=DF,BH 垂直AC 于点H,直线FH,AB 交于点G。 (1)证明:BC·EF=2CH·DF。 (2)若AH=3,CH=1,求线段AG的长度。 图3 (3)如图3所示,在(2) 的条件下,过点C 作GH 的平行线交AB 于点J,求 EJ 2 -EF的最大值。 命制过程:改编题虽然 来源于竞赛题,但也只采用 了竞赛题中两个等腰三角形的位置,即把等腰 三角形EDF的顶角放在等腰三角形ABC底边 的中点。经过研究我们发现点E 在射线AC上 运动时,点F 的轨迹在腰AB 的中点与腰AC 边上的垂足所连成的直线上,在这个基础上设 置了三小问。其中(1)问是为了让考生不那么 容易地猜到哪两个三角形相似,利用中点考查 了四条线段的2倍关系。(2)问由 AH=3, CH=1,就能求等腰三角形ABC的腰长和底边 的长,当一个等腰三角形的腰和底的比值定了, 这个三角形的形状就确定了,利用(1)问的结 果,考生比较容易想到旋转全等,可以得到较多 相等的角,进而慢慢推导,找到解题思路。(3) 问考查最值,过点C 作GH 的平行线交AB 于 点J,易知EJ-DE 有最大值。基于(3)问命题 目的是拉开分差,命题者设置了门槛,要求考生 求 EJ-DE 2 = EJ 2 - DE 2 的最大值,因为DE 2 = EF,所以最终呈现出的是求 EJ 2 -EF的最大值。 解题思路: (1)证明△CDH 相似于△EDF。 (2)先证明△EDC≌△FDH,得到∠DCE= ∠DHF,所 以∠DCE-∠DHC=∠DHF- ∠DHC,即∠CDH=∠CHF,由于△ABC~ △DEF~△DCH,得∠CDH=∠BAC。利用 对顶角相等转化,证得∠GAH=∠AHG,所以 AG=GH。又由BH⊥AC,得到 AG=BG= GH,因为AB=4,所以AG=2。 (3)用勾股定理算出AB=4,BC=22, 得到 AB∶BC= 2,由△ABC~△DEF~ △DCH,得 到 DE∶EF= 2,因 此 EJ 2 - EF= EJ-DE 2 ,由三角形两边之差小于第三 边,得到EJ-DE<DJ。当点E 运动到直 线DJ 与射线AC 的交点时,EJ-DE=DJ, 因此 EJ 2 -EF= EJ-DE 2 ≤ DJ 2 。由CJ 平行 GH,求出GJ= 2 3 ,则BJ= 4 3 ,过点J 作JM 垂直BC于点M,用相似或三角函数算出JM= 14 3 ,BM= 2 3 。放在Rt△DJM,用勾股定理 求 出 DJ,则 DJ= 22 3 ,因 此EJ 2 -EF= EJ-DE 2 ≤ DJ 2 = 11 3 。 作者单位:四川省成都市成都七中万达学校 91 基础数学 尝试创新 自主招生 2020年5月 $$