14、有关隐圆及一线三等角题型解题-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

有关隐圆及一线三等角题型解题 ■梁献鸿 中学的学习在同学们的学习生涯中是非 常重要的阶段,这个阶段的数学学习尤为重 要,为了提高同学们的数学学习效率,本文就 有关隐圆及一线三等角题型展开探讨,希望 能为同学们的学习提供一定的帮助。 一、隐圆 几何最值问题是中学数学的难点之一,而 隐圆问题是常见的一类题型,此类题目常常出 现在填空最后一题或压轴最后一问,是作为难 点拉开分值的问题。同学们在学习时要重视 这一问题,要掌握这个模型的重点知识。 图1 如图1所示,圆外一点 P 连接圆心与圆交于A,B 两点,则P 到圆上最近与最 远 的 距 离 分 别 为 PB 和 图2 PA。如图2所示,CH 垂直于 AB 时,CH 为圆上点到AB 的 最大距离。米勒最大张角问题: 如图3所示,点 A,B 为OM 边 的两个定点,点C 是ON 边上的 图3 动 点,当 C 在 切 点 处 时, ∠ACB 最大。 (一)定点定长 例1 如图4所示,在四 图4 边 形 OABC 中,AB =OA = OB=OC,则∠ACB= 度。 分析:由题意可知 A,B,C 三点到O 点的长度相等,由此想 图5 到“定点定长存隐圆”。那么A, B,C 三点就在以O 为圆心、OA 为半径的圆上(如图5所示),此 时问题就很容易解决了。 (二)定弦定角 图6 例2 如图6所示,在正方 形ABCD 中,点E,F 是AB 与 BC 上的两个动点,CE=BF,连 接DE 与CF 相较于点P。连接 BP,则BP 的最小值是 。 分析:根 据 题 意 不 难 判 断 △ECD ≌ 图7 △FBC,可 得 CF 垂 直 于 DE。 我们发现不论E、F 两点如何运 动,∠CPD 始 终 是 直 角,并 且 ∠CPD 所对的边CD 固定(如图 7所示)。 二、一线三等角 1.一线三等角的类型。 图8 (1)同侧型,如图 8所示。 (2)穿越型,如图 9所示。 图9 2.一线三等角的应用。 (1)主要有三种状态: 一是只有一线三等角的情 况;二是先给出一线二等 角,不用一等角;三是直线上只有一个角。 (2)建立一线三等角的步骤,首先是找 角,其次是找线也就是定线,最后便是构相 似,如图10所示。 图10 图11 例3 如图11所示,在 等腰直角三角形 ABC 中, ∠BAC=90°,D 为AB 上一 点,连接CD,P 为CD 上一 点,∠BPD=45°,若CP=6,△ACD 的面积 为18,则线段DB 的长为 。 分析:解答此题需要先从点A 作AE⊥ CD,然后在CE 上取一点F,使∠AFE=45° (图略),所 以 △AFC∽△CPB,由 此 得 出 AC BC= AF CP ,AF=32。在等腰Rt△AEF 中, AE=3,根据S△ACD=18,可以推出CD=12, 那么△BDP∽△CDB,得出 BD2=PD· CD,最终求得BD= 6×12=62。 作者单位:山西省晋中师范高等专科学 校附属学校 02 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年5月 $$