16、平面向量高考重点题型及解题策略研究-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

平面向量高考重点题型及解题策略研究 ■徐燕云1 金巨明2 归纳近几年的高考试题可知,高考中涉 及平面向量的题型主要有知识交汇、解法多 样的特点,重点考查考生的思维能力与创新 能力。因此,同学们在复习时应以平面向量 的内容为侧重点,结合历年高考真题,了解高 考的命题方向,加深对相关知识的印象,熟练 掌握不同题型所适用的解题策略,保证解题 能力能够得到快速提高。 1.平面向量的交汇问题 平面向量与解析几何的交汇是高考命题 的一个热点,这是因为向量和解析几何融形 数于一体,具有几何形式与代数形式的“双重 身份”。平面向量作为一个运算工具,在历年 的高考题中,经常与函数、数列、不等式、三角 和解析几何等内容相结合。 例1 已知平面上一定点C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足 为Q,且 PC→+12PQ →( )· PC→-12PQ →( )=0。 (1)求动点P 的轨迹方程。 (2)若EF 为圆N:x2+(y-1)2=1的 任一条直径,求PE→·PF→的最值。 解:(1)根据平面向量数量积的运算性 质,得4|PC→|2=|PQ→|2。设 P(x,y),则 Q(8,y),所以[4(x-2)2+y2]=(x-8)2,化 简得3x2+4y2=48,所以点P 的轨迹方程为 x2 16+ y2 12=1 。 (2)因 为 EF 为 圆 N 的 直 径,所 以 |NE|=|NF|=1,且NE→=-NF→,所 以 PE→·PF→=(PN→+NE→)·(PN→+NF→)= (PN→-NF→)·(PN→+NF→)=PN→2-1。因为 PN→2-1=x2+(y-1)2-1=16-43y 2+ (y-1)2 -1= - 1 3 (y+3)2 +19,y∈ [-23,23],所以当y=23时,PE→·PF→ 的最小值为12-4 3;当y=-3时,PE→· PF→的最大值为19。 点评:解析几何的核心思想就是利用代 数方法解决几何问题,将向量条件的几何形 式转化为坐标形式,将数学中的“形”与“数” 完美结合。该题就是利用向量垂直、模、数量 积公式将问题转化为解析几何问题。 2.平面向量的最值问题 求平面向量最值的方法主要有几何法、基 底法、坐标法、三角不等式法和极化恒等式法, 命题主要立足于教材,适当变形,适度整合,拓 展提升,同时渗透这些思想方法,同学们就能 形成“向量思想”,能够在解决实际问题时合 理、有效、快速地将问题进行化归转化,迅速找 到思维的突破口,形成有效的解题思路。 例2 已知△ABC 是边长为2的等边三 角形,P 为平面ABC 内一点,则PA·→(PB→+ PC→)的最小值是( )。 A.-2 B.- 3 2 C.- 4 3 D.-1 解法1(极化恒等式法):设BC 的中点为 H,AH 的中点 为 O,PA·→(PB→+PC→)= 2PA→·PH→,结合极化恒等式的概念可知, PA→·PH→=PO→2-14AH →2=PO→2-34≥ - 3 4 。选B。 解法2(数量积不等式法):设BC的中点为 H,PA·→ (PB→ + PC→)=2 PA·→ PH→ ≥ -2|PA→||PH→|,当且仅当PA→与PH→反向时,等 号成立。设|PA→|=x,则|PH→|= 3-x,则 -2|PA→||PH→|≥-2x(3-x)≥-32。选B。 点评:在解答求最值的问题时,较为常见 的方法为几何法,就是利用其向量的几何本 质,将外在的代数关系通过模型构造转化为 熟悉的几何图形。利用数形结合的方法,避 免了复杂的运算过程,既直观又形象,达到了 事半功倍的效果。运用极化恒等式的三角形 模型时,需要先找到合适的中点和路线,然后 才能写出极化恒等式。 作者单位:1.浙江省诸暨市浬浦中学 2.浙江省诸暨市浣纱初级中学 22 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年5月 $$