17、直线与圆锥曲线相交过定点问题的统一性质-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

直线与圆锥曲线相交过定点问题的统一性质 ■潘登柱 《数学教学》2010年10月刊登有夏新桥 老师的《读刊有感———引领学生跨越思维障 碍》,给出了解答问题的关键,如何利用坐标 法简化解答,突破思维障碍,获得“完美”解 答,读来颇是受益。笔者从该问题的另一角 度思考探究,得出直线与圆锥曲线过定点问 题的一些性质,并从几何特征出发获得该问 题的一般解法。 原题 过椭圆x2+2y2=2右焦点F 的 直线与椭圆相交于A,B 两点,经过点B 与x 轴平行的直线交右准线于C 点,求证:直线 AC 过一定点。 原题的答案为 3 2 ,0( ),即为直线 AC 与 x 轴的交点,该点恰为右焦点F(1,0)与准线 x=2的垂线段的中点。我们可把该问题一 般化,得出下列性质。 性质1:过椭圆 x2 a2+ y2 b2=1 (a>b>0)右焦 点F 的直线与椭圆相交于A,B 两点,经过点 B 与x轴平行的直线交右准线于B'点,F'为 准线与x轴的交点,则AB'过FF'的中点。 证明:当AB∥l时,结论显然成立。当 图1 不平行时,如图1 所示。设直线 AB 的 方 程 为 x = my+c,点A,B 的 坐标分别为A(x1, y1),B(x2,y2),则 B'a 2 c ,y2( )。设 G 为FF'的中点,则有G a 2+c2 2c ,0( )。联立直 线与椭圆的方程得 x=my+c, x2 a2+ y2 b2=1 ,{ 消去x,可得 b2(my+c)2 +a2y2 -a2b2 =0,化 简 得 (b2m2+a2)y2+2b2mcy-b4=0。所以y1+ y2=- 2b2mc a2+b2m2 ,y1y2=- b4 a2+b2m2 ,所以 y1+y2 y1y2 = 2mc b2 ① 。 kAG= y1 x1- a2+c2 2c ,kB'G= y2 a2 c- a2+c2 2c ,把 x1 = my1 + c 代 入 kAG,得 kAG = y1 my1+c- a2+c2 2c = 2cy1 2mcy1+2c2-c2-a2 = 2cy1 2mcy1-b2 ,kB'G = 2cy2 b2 ,kAG - kB'G = 2cy1 2mcy1-b2 - 2cy2 b2 = 2b2c(y1+y2)-4mc2y1y2 (2mcy1-b2)b2 ②。 把①代入②得kAG-kB'G=0,即kAG= kB'G,则A,B',G 三点共线,所以G 为AB'的 中点,即AB'过FF'的中点。 圆锥曲线中椭圆具有的性质,双曲线和 抛物线有吗? 经笔者认真探索,于是有: 性质2:过双曲线 x2 a2- y2 b2=1 (a>0,b> 0)右焦点F 的直线与双曲线相交于A,B 两 点,经过点B 与x 轴平行的直线交右准线l: x= a2 c 于点B',准线与x 轴的交点为F',则 AB'过FF'的中点。 此性质仿照性质1的证明即可完成,此 处略。 性质3:过抛物线y2=2px(p>0)的焦 点F 的直线交抛物线于A,B 两点,经过点B 作平行于抛物线对称轴的直线AB 交准线l: x=- p 2 于点B',准线与x 轴的交点为F', 则AB'过FF'的中点(即为抛物线的顶点)。 (证明略) 参考文献: [1]夏新桥.读刊有感———引领学生跨越 思维的障碍[J].数学教学,2010(10). [2]姜坤崇.对圆锥曲线中一个面积命题 的再研究[J].数学教学,2011(7). 作者单位:贵州省安龙县第一中学 32 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年5月 $$