18、浅谈对称角的关系与应用-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

浅谈对称角的关系与应用 ■刘 豫 在角的概念推广中,经常会碰到有关对称角 的关系问题。下面结合弧度制的知识,剖析常见 的对称角的关系,并结合实例加以分析与应用。 一、对称角的关系 在弧度制下常见的对称角的关系如下: (1)若角α与角β的终边关于原点对称,则α- β=(2k+1)π(k∈Z)。(2)若角α与角β的终边 关于x轴对称,则α+β=2kπ(k∈Z)。(3)若角 α与角β的终边关于y轴对称,则α+β=(2k+ 1)π(k∈Z)。(4)若角α与角β的终边在一条直 线上,则α-β=kπ(k∈Z)。(5)若角α与角β的 终边关于直线y=x 对称,则α+β=2kπ+ π 2 (k∈Z)。(6)若角α与角β的终边关于直线y= -x对称,则α+β=(2k+1)π+ π 2 (k∈Z)。 二、对称角的应用 1.关系表示。 例1 若α和β的终边关于x 轴对称,则 α可以用β表示为 。 解析:因为α和β的终边关于x 轴对称, 所以α+β=2kπ(k∈Z),那么有α=2kπ-β (k∈Z)。 2.角的求解。 例2 若角α的终边与角 π 6 的终边关于直 线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α= 。 图1 解析:如图1所示,设角 π 6 的终边为 OA,OA 关 于 直 线 y=x 对称的射线为OB,则以 OB 为终边且在0到2π之间的 角为 π 3 ,故 以 OB 为 终 边 的 角 的 集 合 为 αα=2kπ+ π 3 ,k∈Z{ }。因 为 α∈ (-4π, 4π),所以-4π<2kπ+ π 3<4π ,所以- 13 6< k< 11 6 。因为k∈Z,所以k=-2,-1,0,1。 所以α=- 11π 3 ,- 5π 3 ,π 3 ,7π 3 。 3.关系式求值。 例3 在平面直角坐标系中,α=- 2π 3 ,β 的终边与α的终边分别有如下关系时,试求β 的值:(1)若角α,β 的终边关于x 轴对称。 (2)若角α,β的终边关于y 轴对称。(3)若角 α,β的终边关于原点对称。(4)若角α,β 的 终边关于直线x+y=0对称。 解析:(1)如图2①,由于角α,β的终边关 于x轴对称,则有α+β=2kπ,k∈Z,可得β= 2π 3+2kπ ,k∈Z。(2)如图2②,由于角α,β的 终边关于y 轴对称,则有α+β=(2k+1)π, k∈Z,可得β=- π 3+2kπ ,k∈Z。(3)如图2 ③,由于角α,β 的终边关于原点对称,则有 β-α=(2k+1)π,k∈Z,可得β= π 3+2kπ , k∈Z。(4)如图2④,由于角α,β的终边关于 直线x+y=0对称,则有α+β=(2k+1)π+ π 2 ,k∈Z,可得β= π 6+2kπ ,k∈Z。 图2 4.三角函数值的求解。 例4 已知角α与角β的终边关于y轴对称, 且cosα= 1 3 (α为第一象限角),求sin(α-β)的值。 解析:因为角α与角β的始边都在x 轴 上,终边关于y 轴对称,则有β=(2k+1)π- α,k∈Z。由β=(2k+1)π-α,k∈Z,得α- β=2α-(2k+1)π,k∈Z。又cosα= 1 3 (α为 第一象限角),所以sinα= 22 3 。故sin(α- β)=sin[2α-(2k+1)π]=-sin2α=-2× 22 3 × 1 3=- 42 9 。 作者单位:重庆市第六十六中学校 42 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年5月 $$