20、浅谈以椭圆为载体的圆锥曲线问题求解策略-2020年5月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

浅谈以椭圆为载体的圆锥曲线问题求解策略 ■丁 阗 以椭圆为载体的圆锥曲线问题不仅是高 考的常见考点之一,也是同学们学习中的难 点。同学们若能在复习备考前有针对性地总 结出求解此类问题的策略,则可以在考场上 节省很多思考的时间。下面就来探讨一下求 解此类问题的思路和方法。 一、垂直问题可转化为向量数量积为零 的问题 因为在直线方程中,当两条有斜率的直 线垂直时,斜率的乘积为-1,但限于分母的 存在,需要讨论分母是否为零,所以求以椭圆 为载体的圆锥曲线的垂直问题时,往往可以 将其转化为向量数量积为零的问题。 例1 已知椭圆C 的左焦点F1(- 3, 0),P 为椭圆C 上一点,满足|OP|=|OF1|, 且|PF1|=2- 2。 (1)求椭圆C 的标准方程。 (2)过点Q(0,2)的直线l交椭圆C 于点 A,B 两点,若OA⊥OB,求l的方程。 解:(1)因 为|OP|=|OF1|,所 以 ∠F1PF2=90°。又 因 为|PF1|=2- 2, F1(-3,0),所以|PF2|= (23)2-(2-2)= 2+ 2。所以2a=|PF1|+|PF2|=4,b2= 1,所以椭圆方程为 x2 4+y 2=1。 (2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线 l的方程:y-2=kx,与椭圆方程联立得(1+ 4k2)x2+16kx+12=0。设A(x1,y1),B(x2, y2),则x1+x2=- 16k 1+4k2 ,x1x2= 12 1+4k2 。因 为OA→⊥OB→,所以OA→·OB→=0,所以x1x2+ y1y2=0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0。 所以(1+k2) 12 1+4k2-2k 16k 1+4k2+4=0 ,所以 k2=4,即k=±2,满足Δ>0。 二、角度问题可转化为斜率问题 与直线有关的角的问题大多可以转化为 斜率问题。 例2 过点 M(1,0)的直线l与椭圆C: x2 4+y 2=1相交于A,B 两点(直线l不与x 轴重合),在x 轴上是否存在定点N 使x 轴 所在直线平分∠ANB? 若存在,则求出该 点;若不存在,请说明理由。 解:假设存在x 轴上定点 N,且设其坐 标为(n,0)。由题易知直线的斜率不会是0, 可设直线l的方程:x-1=ty,与椭圆方程联 立得(t2+4)y2+2ty-3=0,显然 Δ>0。 y1+y2=- 2t t2+4 ,y1y2=- 3 t2+4 。因为x 轴所在直线平分∠ANB,所以kAN+kBN=0。 所 以 y1 x1-n + y2 x2-n = 0, 即 2ty1y2+(1-n)(y1+y2) (ty1+1-n)(ty2+1-n) =0。所以2t(n- 4)=0,故n=4。故存在定点N(4,0)使x 轴 所在直线平分∠ANB。 三、范围问题可转化为函数问题 若以椭圆为载体的圆锥曲线问题中没有 给出明确的不等关系,还让求范围时,需要先 根据已知条件,利用圆锥曲线的几何性质和 曲线上点的坐标确定不等关系,再构造目标 函数,把原问题转化为求函数的值域或引入 参数根据参数范围求解。 例3 已知椭圆方程x2+ y2 2=a 2(a> 0),它与S(1,1),T(2,3)两点间的线段恒相 交,求a的取值范围。 解:由S(1,1),T(2,3)两点确定直线 ST 的方程为y=2x-1(1≤x≤2),将其代 入椭圆方程得6x2-4x+1-2a2=0,所以该 方程在 1,2[ ] 区间内有解。因为二次函数 f(x)=6x2-4x+1-2a2 在 1,2[ ] 上是增函 数,所以f(1)≤0,f(2)≥0,所以 6 2≤a≤ 34 2 。 作者单位:广东实验中学南海学校 62 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年5月 $$