专题04 平面向量数量积相关的求值问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题04 平面向量数量积相关的求值问题 专题概述 　　平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值． 典型例题 考向1 平面向量数量积在圆中的应用 【例1】（2018•唐山二模）已知，，点是圆上的一个动点，则的最大值为　　 A．16 B．20 C．24 D．28 【例2】（2020春•全国月考）已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为　　 A． B． C．0 D． 【变式训练】（2020•绵阳模拟）如图，中，，且，是的外接圆直径，则　　 A．1 B．2 C． D． 考向2 平面向量数量积在解析几何中的应用 【例3】（2020•崇川区校级模拟）在中，已知，，，为边的中点，是内（包括边界）一点，则的最大值是　 　． 【例4】（2020•4月份模拟）在矩形中，已知，，为上一点． （1）若，则　　； （2）若，则　　． 【变式训练】（2020•天津模拟）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则　　，若是线段上的一个动点，则的最小值为　　． 专题强化 1．（2020春•雁塔区月考）平面内及一点满足，则点是的　　 A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 2．（2019春•红塔区校级月考）已知直线与圆交于，两点，是坐标原点，向量，满足，则实数的值为　　 A．2 B．2或 C．1或 D．或 3．（2019•怀化一模）已知点是的重心，，若，，则的最小值是　　 A． B． C． D． 4．（2020•全国Ⅰ卷模拟）如图，在中，，，，、分别为、的中点，则 　　 A． B． C． D． 5．（2020•嘉兴模拟）如图，已知为钝角三角形，，点是外接圆上的点，则当取最小值时，点在　　 A．所对弧上（不包括弧的端点） B．所对弧上（不包括弧的端点） C．所对弧上（不包括弧的端点） D．的顶点 6．（2020春•郴州月考）如图，是圆的一条直径，，为半圆弧的两个三等分点，则　　 A． B．4 C．2 D． 7．（2019秋•衢州期末）等腰三角形中，，点在线段上，，，，则面积为　　，点是外接圆上任意一点，则最大值为　　． 8．（2020•大同模拟）已知菱形的边长为2，，点满足，则　　． 9．（2020•和平区一模）如图，在等腰中，，，与，分别是，的三等分点，且，则　　，　　． 10．（2020•门头沟区一模）已知两点，，若直线上存在点满足，则实数满足的取值范围是　 　． 2 / 4 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题04 平面向量数量积相关的求值问题 专题概述 平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值． 典型例题 考向1 平面向量数量积在圆中的应用 【例1】（2018•唐山二模）已知，，点是圆上的一个动点，则的最大值为　　 A．16 B．20 C．24 D．28 【分析】设出的坐标，求出向量，利用向量的数量积以及三角函数的最值转化求解即可． 【解答】解：，，点是圆上的一个动点， 设， 则，， 则 ，期中． ． 则的最大值为24． 故选：． 【例2】（2020春•全国月考）已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为　　 A． B． C．0 D． 【分析】先根据题意画出图象，易知，且可以用与圆的半径1表示，同时两向量的夹角的余弦也可以用和半径1表示出来，则就可以表示为的函数的形式，问题既可以解决． 【解答】解：由题意做出图象： 圆的圆心为，半径为1，根据圆的切线性质可知， 设， 所以， 则， 当且仅当时取等号，易知取时． 故选：． 【变式训练】（2020•绵阳模拟）如图，中，，且，是的外接圆直径，则　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】根据题意可以将转化为与的数量积，而是三角形的外接圆圆心，根据外接圆的性质，建立坐标系，将的坐标求出来，利用整体代换即可求值． 【解答】解：设三角形三边为，，，三内角为，，． 因为，且 所以，所以． 建立坐标系如图：设，的中点，．外接圆圆心为． 所以的中垂线方程为：① ② 联立①②解得， 所以，． ． 故选：． 考向2 平面向量数量积在解析几何中的应用 【例3】（2020•崇川区校级模拟）在中，已知，，，为边的中点，是内（包括边界）一点，则的最大值是　 　． 【分析】先根据余弦定理求出，再以点