专题08 圆锥曲线的几何性质问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题08 圆锥曲线的几何性质问题 专题概述 1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于，，的不等式，再根据，，的关系消掉得到关于，的不等式，由这个不等式确定，的关系． 2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解. 3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 常见的几何方法有：（1）直线外一定点到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度；（2）圆外一定点到圆上各点距离的最大值为，最小值为(为圆半径)；（3）过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． 常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值. 典型例题 考向1 圆锥曲线的离心率问题 【例1】（2020•全国一模）已知双曲线的右焦点与圆的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为　　 A．2 B． C． D．3 【例2】（2020•全国一模）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点满足，则椭圆的离心率取值范围为　　 A． B． C． D． 【变式训练】1.（2020•全国模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为△的内心，且，若椭圆的离心率为，则　　 A． B． C． D． 2. （2020•4月份模拟）双曲线的上焦点为，，点的坐标为，点为双曲线下支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D． 考向2 圆锥曲线最值问题 【例3】（2020•吉林模拟）巳知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△内切圆的圆心为，则圆心1到圆上任意一点的距离的最小值为　　． 【例4】（2020•一卷模拟）已知是椭圆的一个焦点，是上的任意一点，则称为椭圆的焦半径．设的左顶点与上顶点分别为，，若存在以为圆心，为半径上的圆经过点，则椭圆的离心率的最小值为　　． 【变式训练】（2019•3月份模拟）已知，分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为　　 A． B． C． D． 专题强化 1．（2020•3月份模拟）过双曲线右焦点的直线交两渐近线于，两点，，为坐标原点，且内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 2．（2020•全国一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率　　 A． B． C． D． 3．（2020•2月份模拟）阿基米德（公元前287年公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为　　 A． B． C． D． 4．（2020•芜湖模拟）已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，，，，过，，三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 5．（2020春•林州市校级月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为　　 A． B． C． D． 6．（2019•凌源市一模）已知双曲线的左焦点为，，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D