专题09 棱柱、棱锥与球的组合体问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题09 棱柱、棱锥与球的组合体问题 专题概述 　　球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理． 典型例题 【例1】（2020•吉林模拟）如图所示，在三棱锥中，，，，点在平面内的投影恰好落在上，且，，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【例2】（2020•2月份模拟）已知直三棱柱，的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于　　 A． B． C．8 D． 【例3】（2019•邯郸一模）在棱长为2的正方体中，为棱上一点，且到直线与的距离相等，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【变式训练】（2020•3月份模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为　　． 专题强化 1．（2020•3月份模拟）已知在四面体中，，平面平面，则四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2．（2020•全国一模）如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于．剪去，将剩余部分沿、折叠，使，重合，则以（B），，为顶点的四面体的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 3．（2020•绥阳县一模）已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．（2020•3月份模拟）在三棱锥中，平面平面，，，，，，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 5．（2019秋•全国月考）已知三棱锥满足，，，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 6．（2018秋•全国期末）已知某正三棱柱外接球的表面积为，则该三棱柱侧面积的最大值为　　 A．12 B．18 C．24 D．36 7．（2019•新课标Ⅰ）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　 A． B． C． D． 8．（2019•全国四模）在三棱锥中，已知平面，且为正三角形，，点为三棱锥的外接球的球心，则点到棱的距离为　　 A． B． C． D． 9．（2020•4月份模拟）已知三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为　　． 10．（2020•全国II卷模拟）已知高为的直三棱柱一，的各个顶点都在同一球面上，若，．则球的体积为　　． 11．（2020•3月份模拟）已知等边三角形的三个顶点都在以点为球心、2为半径的球面上．若三棱锥的高为1，则三棱锥的体积为　　． 12．（2020春•柳东新区校级月考）已知三棱锥中，是面积为的等边三角形，，则当点到平面的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为　　． 13．（2020•全国模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为　　． 14．（2019秋•全国月考）在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为　　． 15．（2019秋•全国月考）已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为　　 ． 3 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题09 棱柱、棱锥与球的组合体问题 专题概述 　　球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理． 典型例题 【例1】（2020•吉林模拟）如图所示，在三棱锥中，，，，点在平面内的投影恰好落在上，且，，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【分析】结合已知构造直三棱柱，则直三棱柱的外接球即为所求，球心为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求． 【解答】解：由题意可知，平面， 所以平面平面， 又因为， 所以平面，构造直三棱柱， 则直三棱柱的外接球即为所求，球心为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点， 中，由正弦定理可得，， 故， 故 故选：． 【例2】（2020•2月份模拟）已知直三棱柱，的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于　　 A． B． C．8 D． 【分析】设球的半径为，利用球的体积计算公式可得半径．由，，可得．．外接圆的半径，可得．设球心到底面的距离为，则．即可得出这个直三