专题10 立体几何为背景的新颖问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题10 立体几何为背景的新颖问题 专题概述 以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型. 典型例题 【例1】（2020•全国二模）我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑的体积最小值为　　 A． B． C． D． 【例2】（2020•3月份模拟）在高为的正三棱柱中，的边长为2，为棱的中点，若一只蚂蚁从点沿表面爬向点，则蚂蚁爬行的最短距离为　　 A．3 B． C． D．2 【例3】（2019•全国三模）如图，直角梯形，，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为　　 A． B． C． D．1 【变式训练】（2020•4月份模拟）如图所示，三棱锥的顶点，，，都在半径为同一球面上，与为直角三角形，是边长为2的等边三角形，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为　　． 专题强化 1．（2020•吉林模拟）我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 中，，、分别是和的中点，则平面截“堑堵” 所得截面图形的面积为　　 A． B． C． D． 2．（2020春•全国月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，，则直线与平面所成角的正切值是　　 A． B． C． D． 3．（2020•石嘴山二模）《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为　　 A． B． C． D． 4．（2020•3月份模拟）一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为．如图2放置容器，液面以上空余部分的高为．则　　 A． B． C． D． 5．（2019•新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　 　． 6．（2019•新课标Ⅱ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有　 　个面，其棱长为　　． 7．（2019•钟祥市一模）如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为　　． 8．（2018•全国模拟）如图：边长为的菱形，，将沿折起到图中的位置，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积等于　　． 9．（2017•新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：的最大值为　　． 10．（2020春•全国月考）如图，长方体，中，，，点为的中点，为直线与平面的交点，则　　．