专题12 立体几何中探索性问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题12 立体几何中探索性问题 专题概述 立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法． 典型例题 【例1】（2018•全国三模）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，且． （1）求证：平面平面； （2）设是的中点，判断并证明在线段上是否存在点，使得平面．若存在，求二面角的余弦值． 【例2】在四棱柱中，底面是正方形，且，． （1）求证：； （2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为． 【变式训练】（2018•全国三模）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，且 （1）求证：平面平面 （2）设是的中点，判断并证明在线段上是否存在点，使平面，若存在，求点到平面的距离． 专题强化 1．（2020•3月份模拟）如图．在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 2．（2020•湖南模拟）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小； （Ⅲ）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？ 3．（2019•全国二模）如图，直三棱柱中，点是棱的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 4．（2019•3月份模拟）如图，在三棱柱中，平面，为边上一点，，． （1）证明：平面平面． （2）若，试问：是否与平面平行？若平行，求三棱锥的体积；若不平行，请说明理由． 5．（2018秋•全国期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面． （1）若点是的中点，求证：平面； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 6．（2019•山东模拟）如图所示的矩形中，，点为边上异于，两点的动点，且，为线段的中点，现沿将四边形折起，使得与的夹角为，连接，． （1）探究：在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由； （2）求三棱锥的体积的最大值，并计算此时的长度． 7．（2018•全国模拟）如图，在四棱锥中，，，平面，，为上的动点． （Ⅰ）当为的中点时，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由； （Ⅱ）的面积最小时，求三棱锥的体积． 8．（2018•全国二模）直三棱柱中，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）当的长为多少时，直线与平面所成角的正弦值为． 9．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 7 / 7 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题12 立体几何中探索性问题 专题概述 立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法． 典型例题 【例1】（2018•全国三模）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，且． （1）求证：平面平面； （2）设是的中点，判断并证明在线段上是否存在点，使得平面．若存在，求二面角的余弦值． 【分析】（1）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面． （2）当为的中点时，连接，，，取的中点，连接，，设点到平面的距离为，由，求出．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． 【解答】证明：（1）在三棱柱中，侧面是矩形，， 又，，平面，． 又，．又，，平面， 又平面， 平面平面． 解：（2）当为的中点时，连接，，， 如图，取的中点，连接，， ，，又，， 平面平面，则有平面． 设点到平面的距离为， ，且，平面，， ， ，，平面， ，平面， ， 由， 解得． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，0，，，4，，，0，， ，4，，，0，，，0，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 设二面角的平面角为， 则． 二面角的余弦值为． 【例2】在四棱柱中，底面是正方形，且，． （1）求证：； （2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为． 【分析】（1）连接，，，则△和△均为正三角形，设