专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题 专题概述 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系． 典型例题 【例1】（2020•全国二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意一点，的最大值为1，点为椭圆的左顶点，△的面积最大值为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）动直线与椭圆交于不同两点，、，，为坐标原点，为的中点______．是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 从①的面积为1，②（其中向量这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【例2】（2020春•全国月考）在平面直角坐标系中，已知圆，，线段的中点是坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且． （1）求点的轨迹方程； （2）设直线，分别交圆于点、，直线、的斜率分别为、，已知直线与轴交于点，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练】（2020•3月份模拟）已知椭过点其左、右顶点分别为，，且离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设，为椭圆上异于，两点的任意一点，于点，直线． ①证明：直线与椭圆有且只有一个公共点； ②设过点且与轴垂直的直线与直线交于点，证明：直线经过线段的中点． 专题强化 1．（2020春•全国月考）已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点． （1）若，求直线的方程； （2）设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点． 2．（2020•3月份模拟）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于、两点，且，其中为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且与直线平行的直线与椭圆交于、两点，若点满足，且与椭圆的另一个交点为，求的值． 3．（2019秋•怀化期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切．试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 4．（2019秋•山东月考）已知椭圆的离心率，椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为，，且． （1）求的标准方程； （2）若过左顶点作椭圆的两条弦，，月，求证：直线与轴的交点为定点． 5．（2019•陕西模拟）已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于，两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点． （1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值． （2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 6．（2019•新课标Ⅱ）已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点． （1）若为等边三角形，求的离心率； （2）如果存在点，使得，且△的面积等于16，求的值和的取值范围． 7．（2019•辽宁三模）已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列． 8．（2019•全国I卷模拟）已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，为椭圆上一点，面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）当点不为椭圆的顶点时，设直线与轴交于点，过原点作直线的平行线且与椭圆交于点，问是否存在常数使得成立？若存在，求出常数；若不存在，说明理由． 6 / 6 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题 专题概述 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系． 典型例题 【例1】（2020•全国二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意一点，的最大值为1，点为椭圆的左顶点，△的面积最