专题14 解析几何中与抛物线相关的综合问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题14 解析几何中与抛物线相关的综合问题 专题概述 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物线与圆锥曲线的交汇问题 典型例题 【例1】（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为． （1）若，求的方程； （2）若，求． 【例2】（2018•新课标Ⅰ）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：． 【变式训练】（2018•新课标Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 专题强化 1．（2020•全国一模）点，是抛物线上一点，为的焦点． （Ⅰ）若直线与抛物线的准线交于点，求的面积； （Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点．证明：直线的斜率是定值． 2．（2020•一卷模拟）已知抛物线，焦点为，准线与轴交于点．若点在上，横坐标为2，且满足：． （1）求抛物线的方程； （2）若直线交轴于点，过点做直线，与抛物线有两个交点，（其中，点在第一象限）．若，当时，求的取值范围． 3．（2020•2月份模拟）已知过点的动直线与抛物线交于点，，且（点为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）当直线变动时，轴上是否存在点使得点到直线，的距离相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 4．（2020•2月份模拟）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点，在抛物线上，且，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）求面积的取值范围． 5．（2019秋•全国月考）已知抛物线：，，，，四点都在抛物线上． （Ⅰ）若线段的斜率为2，求线段中点的纵坐标； （Ⅱ）记，若直线，均过定点，且，，分别为，的中点，证明：，，三点共线． 6．（2019•全国四模）已知抛物线，过点的动直线交抛物线予，两点，点关于轴的对称点为，连接，直线与轴交于点． （1）求证：为定点； （2）过点作轴的垂线，是否存在直线，使得在直线上在在点满足为等边三角形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由． 7．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，． （1）证明：直线过定点． （2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程． 8．（2019•3月份模拟）已知是抛物线上一点，为的焦点． （1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列． （2）若直线与交于，，，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距． 9．（2019•3月份模拟）已知抛物线的焦点为，圆，点，为抛物线上一动点．当时，的面积为． （1）求抛物线的方程； （2）若，过点作圆的两条切线分别交轴于，两点，求面积的最小值，并求出此时点的坐标． 10．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点． （Ⅰ）若直线过焦点，且与圆交于，（其中，在轴同侧），求证：是定值； （Ⅱ）设抛物线在和点的切线交于点，试问：轴上是否存在点，使得为菱形？若存在，请说明理由并求此时直线的斜率和点的坐标． 5 / 8 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题14 解析几何中与抛物线相关的综合问题 专题概述 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物线与圆锥曲线的交汇问题 典型例题 【例1】（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为． （1）若，求的方程； （2）若，求． 【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得． （2）若，则，，再结合韦达定理可解得，，，再用弦长公式可得． 【解答】解：