专题15 解析几何中与圆相关的综合问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题15 解析几何中与圆相关的综合问题 专题概述 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想. 典型例题 【例1】（2020•湖南模拟）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点． （1）求点的轨迹方程． （2）设点，，是的轨迹上异于顶点的任意两点，以为直径的圆过点．求证直线过定点，并求出该定点的坐标． 【例2】（2020•南昌一模）已知圆，圆． （Ⅰ）证明圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程； （Ⅱ）已知点，，过点斜率为的直线与中轨迹相交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线，，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为（如图，在右侧）．其中，与圆相切于点，，米．设，满足． （1）试将木栈道的总长表示成关于的函数，并指出其定义域； （2）求木栈道总长的最短长度． 【变式训练】1.（2020•珠海一模）设为圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段上的一点，且满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线与曲线相交于，两点，设为坐标原点，当的面积最大时，求直线的方程． 2．（2020春•山西月考）已知直线与圆相交于，两点，为坐标原点． （1）当时，求； （2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 专题强化 1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4． （1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点、满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆，点在圆内，在过点所作的圆的所有弦中，弦长最小值为． （1）求实数的值； （2）若点为圆外的动点，过点向圆所作的两条切线始终互相垂直，求点的轨迹方程． 3．（2019•全国）已知点，，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程． 4．（2019•新课标Ⅰ）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切． （1）若在直线上，求的半径； （2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由． 5．（2020•4月份模拟）已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设，，过点的动直线与曲线交于、两点．问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系中，已知圆，圆心，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）过点的直线分别交和圆于点、、、（自上而下），若、、成等差数列，求直线的方程． 7．（2020•福建二模）已知，点在第一象限，以为直径的圆与轴相切，动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，求满足的点的个数． 7 / 7 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题15 解析几何中与圆相关的综合问题 专题概述 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提