专题16 数列与不等式相结合的综合问题-2020年高考数学难点突破（新课标版）

专题16 数列与不等式相结合的综合问题 专题概述 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题． 典型例题 【例1】（2020•赣州模拟）已知各项为正数的等比数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）求使得成立的最小正整数． 【例2】（2020•安庆二模）设数列是一个公差为的等差数列，其前项和为，，且三项、、成等比数列． （Ⅰ）求公差的值； （Ⅱ）设数列的前项和为，求使不等式成立的最小正整数． 【例3】（2020•金华模拟）设等差数列的前项和为，已知：且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设正项数列满足，求证：． 【变式训练】1.（2020•4月份模拟）已知数列，满足：． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求实数为何值时恒成立． 2．（2020•聊城一模）①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 设等差数列的前项和为，数列的前项和为，________，，若对于任意都有，且为常数），求正整数的值． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 专题强化 1．（2020•绵阳模拟）若数列的前项和为，已知，． （1）求； （2）设，求证：． 2．（2020•青岛一模）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．已知，，，，． （1）求，的通项公式； （2）是否存在正整数，使得且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2020•绵阳模拟）若数列的前项和为，已知，． （1）求； （2）设，求使得成立的最小自然数． 4．（2020•福建二模）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）将函数的所有正的零点按从小到大依次排成一列，得到数列，令，为数列的前项和，求证：． 5．（2020春•山东月考）给出以下三个条件：①，，成等差数列；②对于，点均在函数的图象上，其中为常数；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设是一个公比为的等比数列，且它的首项，． （1）求数列的通项公式； （2）令，证明数列的前项和． 6．（2020•常德模拟）已知等差数列的前项和为，且满足，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：． 7．（2020春•湖南月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项． （1）证明：为等差数列，并求； （2）设，数列的前项和为．，求满足的最小正整数的值． 8．（2020春•江西月考）已知等差数列满足，且是，的等比中项． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值． 9．（2020•衡阳一模）已知为等差数列，前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列前项和为，证明：． 10．（2020•石家庄一模）已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足：，当，时，． （1）求数列，的通项公式； （2）令，证明：． 8 / 8 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题16 数列与不等式相结合的综合问题 专题概述 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题． 典型例题 【例1】（2020•赣州模拟）已知各项为正数