大学“强基计划”数学拓展性知识点与解题策略导引

大学“强基计划”数学拓展性知识点与解题策略导引 拓展性知识点 1、复数 例1（清华大学）求最小的正整数n，使得 为纯虚数，并求出I． 分析：对于复数n次幂的问题，主要是运用复数的三角形式去解决，把I写成三角形式，再对辐角进行讨论即可． 解： 小结：对于复数运算，特别是 次方根和n次幂问题，最常用的方法是运用复数三角形式的运算结论，转化成关于辐角的三角函数问题，再进行讨论．对于复数的三角形式的运算一定要熟悉． 例2、（清华大学） 实部为 ，求虚部（ 实数）. 解： 故虚部 例3、关于x的二次方程 、 、m均 是复数，且 .设这个方程 的两个根为 、 ，且满足 . 求|m|的最大值和最小值. 【解法1】根据韦达定理有 这表明复数m在以A（4，5）为圆心，以7为半径的圆周上如图所示. 故原点O在⊙A之内. 连接OA，延长交⊙A于两点B与C，则|OB|=|OA|+|AB|= 最大值. |OC|=|CA|－|AO|=7－ 最小值. ∴|m|的最大值是 的最小值是7－ . 【解法2】同解法1，得 R）. 其中 ∴ |m|的最大值= |m|的最小值= 【解法3】根据韦达定理，有 ， ∴ 等号成立的充要条件是 的辐角主值相差 ，即 取最小值 【评述】三种解法，各有千秋. 解法1运用数形结合法，揭示复数m的几何意义，直观清晰；解法2则活用三角知识，把 化为角“ ”的正弦；解法3运用不等式中等号成立的条件获得答案；三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征. 例4、（2006年上海交大推优、保送生）已知 ， 是实数， 是复数，求 的最大值． 分析：有条件 ，可以把复数写成三角形式 ，再对要求的复数模用辐角的三角函数值表示出来，这样问题就转化成三角函数的取值范围了． 解：令 ，所以 ， = ． 所以 的最大值 ． 小结：复数模的取值范围的问题，可以考虑转化成三角函数问题，并求其取值范围． 例5、（清华大学）求 的模． 答案: 解析： 2、不等式 例1、（2005年江苏）3.设 , 那么 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解：C 由 , 可知 所以， . 故选 C． 例2、已知实数 EMBED Equation.DSMT4 满足 ， ，试求 的最值. 解：由柯西不等式得，有 即 由条件可得， 解得， 当且仅当 时等号成立， 代入 时， 时 例3、 (南京大学) 为 内一点，它到三边 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的距离分别为 ， 为 的面积. 求证： （这里 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 分别表示 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的长）. 证明：如图2-4，易见 由柯西不等式知， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 例4、(浙江大学)有小于1的正数 ，且 ， 求证： . 证法一：由柯西不等式， [ 注意到 = ，而 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 故 .从而 EMBED Equation.DSMT4 ，显然 ，故 . 证法二：先证一个局部不等式： 事实上， EMBED Equation.DSMT4 ,显然成立. 所以， EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当 EMBED Equation.DSMT4 时等号成立，这显然是不可能的. 例5、(清华大学)已知 是 的一个排列.求证： . （ ） 例6、设函数，，数列满足： . （1）当时，比较x与的大小； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 解：（1）解结论显然 （2）∵，∴∴ ∴为首项是1、公比为的等比数列. ∴∴； （3）∵，由（1）知， ∴，即证． 1、概率 例1、（清华大学等五校联考）甲、乙、丙、丁等七人排成一排，要求甲在中间，乙丙相邻，且丁不在两端，则不同排列法共有 （ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 120种 解：甲、乙、丙、丁等七人按要求站成一排后，从左至右依次编号为1,2,3,4,5,6,7. 显然，甲必修站在第4号位置上，下面