平面向量基本题型的三种解题策略与方法导引

平面向量基本题型的三种解题策略与方法导引 方法导读： 平面向量是平面几何、三角函数、解析几何的主要知识载体，常与数列、不等式、概率等知识融合，是高中数学的核心主线。解题方法主要是几何性质法、坐标法和基底转化法. 方法导引： 方法1：几何性质法 例1.已知是单位圆上的两点，，点是平面内异于的动点，是圆的直径．若，则的取值范围是________． 【解析】 因为是单位圆的直径， 所以. 在中，，， 所以，. 因为，所以点在以为直径的圆上， 其圆心为的中点，半径为. 易得，又点异于， 所以且. 所以且， 即且. 所以的取值范围是. 例2.已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 ，即，表示在的角平分线上，故是内心. 如图所示：；，故. 故答案为：. 例3.在中，，点满足，且对任意，恒成立，则______. 【答案】 【解析】 根据题意，在中，点满足. 设，则. ∵ ∴对任意，恒成立，必有，即，如图所示. ∵ ∴， ∴. ∴ 故答案为：. 方法2：坐标法 例4．已知点在函数的图像上，过点的直线交、轴正半轴与点、，为坐标原点，三角形的面积为，若且，则的取值范围是_______________. 【答案】. 【解析】 设， 则 故 点在函数的图像上，故 解得 故答案为： 例5.在中，，点满足,则的最大值是__________ 【答案】 【解析】 解：以，为，轴建立坐标系， 设，， ， ， ，，， ， 最小值为， ，， 的最大值是为． 故答案为： 例6.已知正三角形的边长为4，是平面内一点，且满足，则的最大值是______，最小值是______. 【答案】不存在 【解析】 解：设正三角形的外接圆为，则的直径， ， 如图以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， ，则点在的优弧上， 设， 又， ， ， ，则， 则的最大值不存在，最小值是. 故答案为：最大值不存在，最小值是. 例7．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________. 【答案】 【解析】 因为是平面内两个互相垂直的单位向量， 所以可设 ， ， ， 又， ， 即， 它表示的圆心在，半径为的圆， 表示圆上的点到的距离， 圆心到点的距离为， 的最大值为， 要使恒成立， 即的最小值是，故答案为. 方法3：基底转换法 例8.．如图，已知，，，圆是以为圆心、半径为的圆，圆是以为圆心、半径为的圆，设点、分别为圆、圆上的动点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 设，则， ， ， ， ，． 故答案为： 例9.如图，在中，已知，于，为线段上的点，且，若，则的值等于_________ . 【答案】 【解析】 在中， ，， ，， ， ，∴，又，∴. ∴，， ， ∴，同理，由，解得， ∴. 故答案为：. 例10.如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得 以为直径的半圆方程为 以为直径的半圆方程为（ ， 设 可得 即有 即为 即有 可得 ，即 ， 则 可得 即β时， 的最大值为， 故答案为． 11 $$