精品解析：2020届甘肃省兰州市高三诊断考试数学（理）试题

2020年兰州市高三诊断考试 数学（理科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 5 B. C. 13 D. 3. 已知非零向量，给定，使得，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，从中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，，，则、、大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（），若函数图象与直线在上有3个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 对于定义域为的函数，如果存在区间满足是上的单调函数，且在区间上的值域也为，则称函数为区间上的“保值函数”，为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数是上的“保值函数”；②若函数是上的“保值函数”，则；③对于函数存在区间，且，使函数为上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（ ） A. ② B. ③ C. ①③ D. ②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则_____. 14. 已知向量，满足，向量，夹角为，且，则向量________． 15. 大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''.已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蜂房的表面积是_____. 16. 在中，，，分别为角，，所对边，已知，，，点是的内心，则__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在等差数列中，， （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，为数列的前项和，若，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点在面内的射影为，，且直线与垂直． （Ⅰ）在棱上找一点，使直线与平面平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的大小． 19. 甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图． （Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率； （Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：