专训7 利用勾股定理求最值-八年级下册初二数学【学期总动员】专题优+攻略（北师大版）

$$ ! ! 专训 - 利用勾股定理求最值 ! !!! !!!!!! !!! !!!! !一"化曲为直求最值 "!如图!圆柱形玻璃容器高 "4$%!底面周长为 ,#$%! 在外侧距下底 "!3$%的点#处有一只蜘蛛!距蜘蛛 正对面的圆柱形容器的上底 "!3$%处的点 '处有 一只苍蝇!蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥!请帮蜘蛛计算 它沿容器侧面爬行的最短长度! 第 " 题图 解!将圆柱侧面展开成矩形 +*1-" 过点 (作 (# % +*于点 #"连接 &("则线段 &(的长度即为最短 距离) 在 67 ! &#(中"&#)+*,&*, #+)!(;<"(#是上底面的半圆周 的长"即(#)&%;<) 由勾股定理"得 &() &# 2 *(#槡 2 )&0;<) 答!蜘蛛所走的最短路线的长度为 &0;<) !二"化折为直求最值 &!如图!长方体长为 3!宽为 *!高为 0!点 #处一虫子 在长方体表面爬向食物 '处!求出最近的爬行 路程! 第 & 题图 解!如图 ! "蚂蚁爬行的路径 &() ' 2 *#& *0$槡 2 )槡-0 & 如图 " "蚂蚁爬行的路径 &() & 2 *#'*0$槡 2 )槡4% )&槡!%& 如图 # "蚂蚁爬行的路径 &() #' *&$ 2 *0槡 2 )槡+% )0槡') .槡-0 =槡+% =槡4% " /虫子最近的爬行路程是槡-0) !三"利用垂线段最短求最值 0!如图!点&为边长为 * 的等边 ! #'%的 '%边上一 动点"点&不与'$%重合#!以 #&为边在 #&右侧 作等边 ! #&+!求 ! #&+面积的最小值! 第 0 题图 解!作&+ % $,于点+" 易求&+)槡 & 2 &$" /. ! &$, ) ! 2 $,%&+ ) 槡& 0 &$ 2 " 要使. ! &$, 最小"只需&$最小"此时&$ % (#" 易求&$)2槡& ". ! &$, )&槡& " / ! &$,面积的最小值为 &槡&) !四"利用对称将折线拉直$再用两点间线段最短求最值 *!如图!在四边形 #'%$中!#' # %$! " '#$24#"! #'2,!对角线 #%平分 " '#$!点 &在 #'上!且 #&2&"#&@#$#!点 (是 #%上的动点!求 ! ('& 的周长的最小值! 第 * 题图 解!.&#平分 " "&(" " "&()4%!" /作 $关于 &#的对称点 , 正好落在 &"上"连接 (,"交 &#于-"连接-$" 则此时-$*-(最小" ! -($的周长最小) .$和,关于&#对称"/&,)&$)2"-$)-," /在67 ! &,(中"(,) 22 *(槡 2 )2 槡!% " / ! -($的周长的最小值为 2 槡!% *0) "" ! !五"利用对称将折线拉直$再用垂线段最短求最值 3!如图!在 ! #'%中!#'2#%!'%2*!面积是 ",!#% 的垂直平分线 &+分别交 #%!#'边于点 &$+!若 点$为'%边的中点!点)为线段&+上一动点!求 ! %$)周长的最小值! 第 3 题图 解!连接&""&+) . ! &(#是等腰三角 形"点 "是 (#边的中 点"/&" % (#"#") ! 2 (#)2" /. ! &(# ) ! 2 (#%&") ! 2 :0 :&")!("解得 &" )+) .$,是线段&#的垂直平分线"/+&)+#) .&+*+" & &""/#+*+"的最小值为 +" / ! #"+的周长最小值为 + *2 )!%) !六"综合应用求最值 ,!如图!在 => ! #'%中! " %24#"!'%20!#%2*! 点(在=> ! #'%内且满足 4 ! #'% 204 ! (#% !则点(到 #!%两点距离之和(#7(%的最小值为 " $ # '(" 7槡"1 )(&槡3 +( 3 7槡10 0 -( 3槡0 & !!!! 第 , 题图 第 1 题图 1!如图!等腰三角形 #'%底边 '%的长为 *$%!面积 为 "&$%&!腰#'的垂直平分线&+交#'于点&!交 #%于点 +!若 $为 '%边上的中点!)为线段 &+ 上一点!则 ! '$)的周长最小值为 " # # '(3$% )(,$% +(.$% -("#$% .!如图!在 ! #/'中! " /#'2 " #/'2"3"!/'2.! /%平分 " #/'!点 (在射线 /%上!点 3为边 /# 上一动点!则(#7(3的最小值是 " # # '(0槡& )(*槡& +(* -(0槡0 !!!! 第 . 题图 第 4 题图 4!如图!长方体盒子"无盖#的长$宽$高分别是 "&$%! .$%!0#$%!在#'中点 %处有一滴蜜糖!一只小虫 从$处爬到 %处去吃!有无数种走法!则最短路程 是!2