第1讲 正弦定理和余弦定理（知识点串讲）-2019-2020学年高一数学下册期末考点大串讲（人教A版）必修5

第1讲　正弦定理和余弦定理 一、正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内 容 ＝2R＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变 形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝；，sin C＝，sin B＝ (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 考点1：利用正弦定理解三角形 例1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝1，则b＝(　　)，B＝ A．2　　　 B．1　　 C．　　　 D． 练习1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝________. 利用正弦定理可解决两类问题 基本类型 一般解法 已知两角及其中一角的对边，如A，B，a ①由A＋B＋C＝180°，求出C； ②根据正弦定理，得，求出边b，c.＝及＝ 已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A ①根据正弦定理，经讨论求B； ②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C； ③再根据正弦定理，求出边c.＝ 考点2：利用余弦定理解三角形 例2．(2019·山东济南期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　) A． B．－ C． D．－ 练习2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________. 利用余弦定理可解决两类问题 已知两边 和它们的 夹角，如 a，b，C ①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c； ②根据cos A＝，求出A； ③根据B＝180°－(A＋C)，求出B. 已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角； 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角. 考点3：判断三角形的形状 例3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 [变式探究1]　本题1中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状． [变式探究2]　本题1中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状． 判定三角形形状的2种常用途径 二、三角形中常用的面积公式 1.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)； (2)S＝absin C；acsinB＝bcsin A＝ (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 2.在△ABC中常用结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin .＝sin；cos ＝cos (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (7)合比定理：＝2R.＝ (8)在锐角三角形中①A＋B＞.＜B，C＜，则；②若A＝ 考点4 求三角形的面积 例4、(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋，b＝2.cos A＝0，a＝2 (1)求c； (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 练习4、(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________. 考点5 求解几何计算问题 例5、如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足． (1)若△BCD的面积为，求AB的长； (2)若DE＝，求角A的大小． 练习5、 (2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－. (1)求∠A； (2)求AC边上的高． 考点6三角函数求值问题 例6、(