第3讲 等差数列及其前n项和（知识点串讲）-2019-2020学年高一数学下册期末考点大串讲（人教A版）必修5

第3讲 等差数列及其前n项和 【知识梳理】 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 【考点精炼】 考点一：定义辨析 例1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) 【知识梳理】 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项. 4．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝d.或Sn＝na1＋ 5．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n.n2＋ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 【考点精炼】 考点二：等差数列的基本运算 例2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 练习．(2018·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＝14，则S7＝(　　) A．13 B．35 C．49 D．63 练习．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 练习．(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　) A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 考点三：等差数列的判定与证明 例3、已知数列{an}中，a1＝(n∈N*)．(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，an＝2－ (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． [变式探究]　本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式． 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列. 可用来判定与证明． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．可用来判定与证明． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列． 练习 (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和． 已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 【知识梳理】 6．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 8.与等差数列各项的和有关的性质 1．若{an}是等差数列，则.也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 2．若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．