第4讲 等比数列及其前n项和（知识点串讲）-2019-2020学年高一数学下册期末考点大串讲（人教A版）必修5

第4讲 等比数列及其前n项和 【知识梳理】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式：Sn＝ 【考点精炼】 考点一　等比数列的基本运算 例1、(2019·甘肃兰州诊断)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. 练习1．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．ff B． C．ff D． 练习2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　) A． B．－ C． D．－ 练习3．(全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________. 练习4．(2019·山东沂水月考)在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　) A．7　　 B．8　　 C．9　　 D．16 解决等比数列有关问题的两种常用思想 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝.＝ 考点二　等比数列的判定与证明 例2、(2019·山东潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [变式探究]　若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式． 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 练习3、(全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. 【知识梳理】 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)， 则am·an＝ap·aq＝a. (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，(λ≠0)仍然是等比数列．}，{an·bn}，，{a (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 4．等比数列{an}的单调性 (1)满足时，{an}是递增数列．或 (2)满足时，{an}是递减数列．或 (3)当时，{an}为常数列． (4)当q<0时，{an}为摆动数列． 5．与等比数列前n项和Sn相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； ②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝＝q.(q≠1且q≠－1)， (2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)． 【考点精炼】 考点三 等比数列的性质及应用 例3、(2019·山东日照检测)已知等比数列{an}中，an＞0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80＝(　　) A．32 B．64 C．256 D．±6 练习、(2019·河南郑州调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形．