第6讲 一元二次不等式及其解法（知识点串讲）-2019-2020学年高一数学下册期末考点大串讲（人教A版）必修5

第6讲 一元二次不等式及其解法 【知识梳理】 1．一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集 (1)当a＞0时，解集为； (2)当a＜0时，解集为. 2．“三个二次”的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的步骤 (1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 【考点精炼】 考点一：解不含参数的一元二次不等式 例1．(全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝(　　) A．[2，3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞) 【知识梳理】 4、解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【考点精炼】 考点二、含参数的一元二次不等式问题 例2．(2019·山东烟台检测)关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)　 B．(1，3) C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 练习、解不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 【知识梳理】 5、分式不等式的解法 (1) (2) 【考点精炼】 考点三、解分式不等式 例3．(2019·山东临沂月考)不等式 ≤0的解集为(　　) A． B． C．∪[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) 【知识梳理】 6、恒成立结论 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)． (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 7、一元二次不等式恒成立问题的求解思路 (1)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解． (2)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． (3)形如f(x)＞0或f(x)＜0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 【考点精炼】 考点四、形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围 例4、(2019·甘肃张掖月考)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________. 练习、(2019·山东莱芜检测)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________. 考点五、形如f(x)≥0(x∈[a，b])求参数的范围 例5、设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 练习、若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________. 考点六、形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围 例6、对任意的k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________. 考点七、成立问题 例7、(2019·河南洛阳诊断)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，＋∞) D． 练习、若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0] 4 / 4 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第6讲 一元二次不等式及其解法 【知识梳理】 1．一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集 (1)当a＞0时，解集为； (2)当a＜0