上海市长宁区2020届高三(二模)在线学习效果评估数学试题

2020年长宁区高三数学在线学习效果评估 参考答案与评分标准 说明： 1．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．C 14．B 15．B 16．D 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）解：如图，由题意得 ， ． 在 中， ，即该圆锥的高 ． ……………………3分 由圆锥的体积公式得 ．即该圆锥的体积为 ．……………………6分 （2）解法1：联结 ，如图所示， 由 为线段 的中点，得 ∥ ， 所以异面直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角． …………………3分 因为 ， 所以 ， ． 在 中， ， 所以 为等边三角形，即 ． …………………………………6分 因此异面直线 与 所成的角的大小为 ． ………………………………8分 解法2：以 为坐标原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴的正半轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，可得 ， ， ， ， ………2分 因为 为线段 的中点， 得 ， 所以 ， ．…………………4分 设直线 与 所成的角为 ，向量 与 的夹角为 ， 则 ，……………6分 又 ，所以 ． 即异面直线 与 所成的角的大小为 ．………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由 ，得 ， 因为 为 的内角，所以 ．……………………………………………………3分 由余弦定理得 EMBED Equation.3 所以 ． ………………………………………………………6分 （2）由题意得 EMBED Equation.3 ………………………………………4分 ………………………………………6分 因为 ，所以 的最大值为 ． ………………………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意 ，(单位：天)时刻后水中含有物质N的量为 ． ………………………………………2分 解 ，得 ． …………………………………………4分 所以若在水中首次投放 个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用 天．……………6分 （2）设第 （ ）天水中所含物质N的量为 mol/L， 则 ……………………………4分 EMBED Equation.3 …………………6分 当且仅当 ，即 时，等号成立．即当 时， ． 所以第 天至第 天，水中所含物质N的量始终不超过 mol/L． …………………8分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）由题意得 ， ， …………………………………2分 解得 ， ， 所以所求椭圆 的方程为 . …………………………………4分 （2）由题意点 的坐标为 ，设点 . 因为 ， 所以 ， …………………………3分 又 解得 或 或 （舍去） 所以所求点 的坐标为 或 . ……………………………6分 （3）设 ， ，直线 的方程为 . 由方程组 ，得 . 所以 ， ……………………2分 直线 的方程为 ，得 直线 的方程为 ，得