第2讲 随机变量及其分布（知识点串讲）-2019-2020学年高二数学下册期末考点大串讲（人教A版）选修2-3

第2讲 随机变量及其分布 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1． 例1．(2019·山东济宁检测)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)＝____________． 练习. (2019·山东滨州模拟)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据. 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； (2)当产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量； (3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列． 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 例2. （2019年岳麓区月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列． [变式探究1]　在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率． [变式探究2]　若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列． 练习．(2019·辽宁大连月考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为____________． 4．条件概率 (1)定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率． (2)性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③条件概率的求法 1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)． 2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝． 例3．(2019·山东济南模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　) A．　　　　　　 B． C．　　　 D． [变式探究1]　若将题中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？ [变式探究2]　将题改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值． 练习．(2019· 辽宁大连质检)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　) A． B． C． D． 5．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质 ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与也都相互独立．与与B，， 6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 例4. (