解析几何试题中减小运算量的十二种策略

解析几何试题中减小运算量的十二种策略 解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，针对解析几何题目的特点，选择恰当的解题策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量，提高解题效益. 本专题介绍若干种减少计算量的常用策略. 常用策略 策略一：使用特值 题1：已知在离心率为 的双曲线 中， 为右焦点，过 点倾斜角为 的直线与双曲线右支相交于 两点，且点 在第一象限，若满足 则 . 分析：按常规求 值，必先求向量 之长. 由于双曲线的方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人 望而生畏的. 注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的 形状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果. 所以我们可以通过取特值，让方程具体化. 解析： ，不妨设 ，双曲线方程为： ,又曲线右焦点 ，设 ，代入双曲线方程得 ， ，于是 ，故 . 策略二：活用平几 高考的解析几何题似曾相见曾相识，看似平淡需真功.很多时候，解析几何综合题的复杂性让许多学生望而却步，成为学生高考成败的关键.单纯地依赖代数方法解决几何问题，不光导致运算十分复杂，也有可能导致思路无法展开，能不能有效避开这一繁难计算，有时关注试题中的几何特征是解决解析几何问题的关键. 题2：已知直线 和圆 相交于不同两点 ，点 在直线 上，且满足 ，当 变化时，点 的轨迹方程为 . 常规解法：设点，则的参数方程为 将（1）代入，得 显然,设方程（2）的两根为，由，依题意点在AB或BA的延长线上，∴，即,∴ 即为的轨迹方程，表示以为圆心，为半径的圆． 点评：由联想到直线的参数方程中的几何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中的地位来说对更多高三学生来说亦属不易，还有运算量相比较还是比较大的，时间成本的控制不如方法一．需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成 利用圆的几何性质解法：圆的圆心．由切割线定理，如图1所示，有，故点在圆外，∴ ∴点的轨迹方程为． 点评：显然直线AB是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制． 通过本节微专题学习，发现求解圆的问题时，若能充分揭示问题中的几何关系，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍.切割线定理、圆幂定理、垂径定理是圆的对称性的反映，它们在圆中的应用程度非常之广泛. 题3：过圆 内一定点 作一动直线交圆 于两点 ，过坐标原点 作直线 于点 ，过点 的切线交直线 于点 ，则 . 分析：与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段. 解析：如图,连OP,则OP⊥PQ.但是OQ⊥PR于N,根据直角三角形的射影性质有： ， ， 即 . 题4：在平面直角坐标系 中，点 与点 关于原点 对称， 是动点，且直线 与 的斜率之积为 . （1）求动点 的轨迹方程； （2）设直线 和 分别与直线 交于 . 问是否存在点 ，使得 与 的面积相等？ 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 试题分析：试题中是两条动弦与椭圆相交，不再是一条直线与椭圆相交的位置关系，避开了常规的联立方程模式套路.试题涉及A、B、P、M、N五个点，而且点M、N是由点P生成的，所以先要通过设点P的坐标为参变量，然后计算点M、N的坐标，再利用五个点坐标分别表示 与 的面积，将它们用引入参变量表示，利用它们相等的关系，进而求出点 的坐标. 解析：思路一：计算长与点到的距离，到的距离，分别计算与两个面积，思路虽自然，运算有一定困难． 依题意：设、、 则直线方程：，直线方程： 分别令，得，（多个字母参数的运算是学生死穴，这种计算比较复杂，学生在心理上就已经发抖、害怕） 于是（、点坐标复杂导致三角形面积代数转化有困难） 又直线的方程为，且到直线的距离 ， 且，所以 由题设条件，得 又，所以，得．代入椭圆方程，得， 故存在点，使得与的面积相等． 评析：解析几何的代数特征经常体现在“设而不求”技巧上，上述解法中困难是计算、点坐标．是不是一定要求出、点坐标呢?这就让我们进一步思考，三角形面积一定要表示成“底乘以高”的形式么? 思路二：我们发现要求的两个三角形有共同的顶角，利用这个三角形面积公式更容易表示与的面积并可回避、点坐标计算． 解决问题需要理论支撑：在解析几何中很少直接用平面上两点间距离公式计算距离，多采用同一条直线上两线段