导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引

导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引 方法一 等价变形，转化构造 方法导读 研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变形，通过恒等变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。 方法导引 例1 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）当时，求证：. 解析:（1）由，得，定义域为. 令，解得， 列表如下： + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 结合表格可知函数的极大值为，无极小值. （2）要证明，即证，而定义域为， 所以只要证，又因为，所以， 所以只要证明. 令，则， 记，则在单调递增且， 所以当时，，从而；当时，， 从而，即在单调递减，在单调递增，. 所以当时，. 例2已知a R，a0，函数f (x) eax1ax ，其中常数e . （1）求f (x) 的最小值； （2）当a ≥1时，求证:对任意x0 ，都有xf (x) ≥ 2ln x 1ax2. 解析：（1）因为，则， 故为R上的增函数，令，解得 故当，单调递减； 当，单调递增， 则 故函数的最小值为0. （2）证明：要证明xf (x) ≥ 2ln x 1 等价于证明 由（1）可知：，即 因为，故 故等价于证明 即 令，即证恒成立. 又 令，解得 故当，单调递减； 当，单调递增； 故 有因为，故 故即证. 即对任意x0 ，都有xf (x) ≥ 2ln x 1ax2. 方法二：构造常见典型函数 方法导读 常见典型函数主要包括，;等，通过变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。 方法导引 例3 已知函数在处的切线斜率为. （1）求实数的值，并讨论函数的单调性； （2）若，证明：. 思路分析：(1)先对函数求导，由函数在处的切线斜率为即可求出的值，进而可得函数的单调性；(2)要证，即证，构造函数，，用导数的方法求函数的最小值和函数的最大值，即可得出结论. 【详解】（1），由切线斜率，解得． ，其定义域为，，令，解得，故在区间上单调递增；令，解得，且，故在区间和区间上单调递减； （2）由（1）知，定义域为．从而等价于，设，则，.当时，，当时，. 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而在的最小值为. 设，则，当时，，当时，，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而在的最大值为，综上所述，在区间上恒有成立，即． 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是（3）中通过构造新函数并求得其极值点，从而判断的范围是解题的关键. 例4 （2020·全国高三专题练习（理））已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 思路分析：1）对函数进行求导得，再解不等式得到函数的单调区间； （2）将不等式恒成立等价转化为，再构造函数，利用导数研究函数的最小值. （1）. 当时，单调递增； 当时，单调递减. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)由得 也就是，令 则=，由知，. 设，，在单调递增， 又，所以存在使得， 即. 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增; 所以=. 所以的取值范围是. 点评：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题的处理方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，就转化为；（3）若恒成立，可转化为. 方法三 局部构造 方法导读 整体与局部是认识论重要的哲学视角，在研究函数问题要学会从不同视角观察函数结构，如果从整体观察函数结构感觉束手无策或复杂时，可以从观察函数的局部结构入手，可能会柳暗花明。 方法导引 例5.已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性 (2)当时，，对任意，都有恒成立，求实数b的取值范围. 导引：（1）先求得定义域及函数的导函数,求得函数极值点.再由,可判断导函数的符号,即可判断函数的单调区间. （2）将代入,再代入可得解析式.由不等式恒成立,分离参数后构造函数.求其导函数可得.再构造函数,求得.可判断出有唯一的零点,即在处取得最小值.进而结合不等式即可求得b的取值范围. 解析（1）定义域为 由题知 则, 令解得 当,, 当,﹔当,； 函数在单调递增,在单调递减 （2