数学：湘教版九年级上 第四章 解直角三角形（章综合）

锐角三角函数 中考要求 1）基本概念：包括直角三角形的基本元素，边角关系，锐角三角函数等 2）基本计算：包括对角的计算，对边的计算，应用某种关系计算等。 3）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。 sin A= cos A= tan A= cot A= （一）锐角三角函数的概念 0＜sin A＜1，0＜cos A＜1 知识 概要 分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数. 这些函数值之间有什么关系？ （二）同角三角函数之间的关系 （三）互余两角三角函数之间的关系 sin²A+cos²A=1 tanA=sinA/cosA tanAcotA=1 sin A= cos（90- A） tan A =cotA（90- A） （四）三角函数值的变化规律 1）当角度在0---90之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 2）当角度在0---90之间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 知识 概要 1 1 角度 逐渐 增大 正弦值如何变化? 正弦值也增大 余弦值如何变化? 余弦值逐渐减小 正切值如何变化? 正切值也随之增大 余切值如何变化? 余切值逐渐减小 （五）特殊的三角函数值 cotα tanα cosα sinα 6 0° 45 ° 3 0° 角 度 三角函数 0 90 0 1 0 0 1 不存在 不存在 0 知识 概要 填空：比较大小 知识 概要 ° 68 sin 3 ） （ （六）解直角三角形 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 若直角三角形ABC中，∠C=90，那么∠A， ∠ B， ∠ C，a,b,c中除∠C=90°外，其余5个元素之间有如下关系： 1）a²+b²=c² 2）∠A+∠B=90 3） 知识 概要 b a AC BC A的邻边 A的对边 tanA = = Ð Ð = 只要知道其中2个元素（至少要有一个是边）就可求出其余3个未知数 1）仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. （七）应用问题中的几个重要概念 知识 概要 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示： 2）方向角 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 3）坡度（坡比）,坡角的概念 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ =tan a 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即 I = . 图19.4.5 ☆ 考点范例解析 1.锐角三角函数的概念关系 1）在RtABC中，∠C=90°BC=a，AC=b若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值 解法1 设AB=c由三角函数的定义得：sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b ∴ a ﹕ b = 2/3 解法2 由三角函数的定义得： a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB ∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3 抓住三角函数的定义是解题的关键 锐角三角函数的概念 ☆ 考点范例解析 1.锐角三角函数的概念关系 2 在ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下列结论正确的是（ ） sinA>sinB sin²A+sin²B=1 sinA=sinB 若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA也扩大为原来的2倍 A)(1)(3) B)(2) C)(2)(4) D)(1)(2)(3) 解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知 （1）（3）都不对，故选 B） 用构造特殊的直角三角形来否定某些关系式，是解决选择题的常用方法 锐角三角函数的概念 ☆ 考点范例解析 1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 C 特殊角的三角函数值 A）锐角三角形 B）直角三角形 D）钝角三角形 C）等边三角形 ☆ 考点范例解析 1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 点评 融特殊角的三角函数