2020北京空中课堂高二数学（选修-人教B版）-函数的平均变化率 (共3份打包)

教 案 教学基本信息 课题 函数的平均变化率 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名:普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1（B版） 出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 实施者 指导者 课件制作者 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 一、教学目标： 1. 结合实例，理解函数的平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义． 2. 会求简单函数在x0到x0+∆x之间的平均变化率． 3. 在理解函数的平均变化率的过程中，体会“以直代曲”的思想与数形结合的方法． 二、教学重点： 函数的平均变化率的概念 三、教学重点： “以直代曲”思想的理解 教学过程 教学 环节 主要教学活动 设置意图 概念的 引入 （一）创设问题情境 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学来刻画山坡的平缓与陡峭程度呢？ （二）聚焦问题难点 如果山坡是平直的，我们可以用“坡度”来刻画山坡的陡峭程度． （复习坡度的概念） 实际上，山坡一般都是弯曲的，我们该如何刻画它的陡峭程度呢？ （三）以直代曲思想的理解 即使是弯曲不平的山坡，我们也可以将它划分为许多小段，每一段山路都近似地看成“平直”的． 为什么可以把“不平直”的山路看成“平直”的呢？ 下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？ 如果显示出网格线，能否判断呢？ 这个图的全貌其实是这样的： 如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成． 从学生的生活经验中提出问题． 结合学生的知识经验梳理问题． 从学生的知识经验理解“以直代曲”． 类比双曲线，理解弯曲山路中的“以直代曲”． 概念的 形成 （四）构造数学模型表示山坡陡峭程度 假设下图是一座山的剖面示意图． 爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座山的山坡剖面图则可以看作函数y=f(x)的图象，建立平面直角坐标系如图所示． ( O y x ) 我们把山路分成许多近似平直的小段． ( D 1 x 3 ) 对于AB这一段平直的山路，放大如下图： 坡度为： . 对于CD这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为： ． 一般地，任何一小段山路的陡峭程度可以表示为： ． （五）函数平均变化率的概念 已知函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义，令 △x＝x－x0； △y＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0+△x)－f(x0)． 则当∆x≠0时，比值 叫做函数y=f(x)在x0到x0+∆x之间的平均变化率． 结合函数的概念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化． 用数学语言表达山路的陡峭程度． 抽象概括出函数的平均变化率的概念． 概念的 辨析 （六）函数平均变化率的辨析 1. 如何直观理解某段山路的陡峭程度？ ∆x一定时，∆y的绝对值越大，则这段山路越陡峭．反之亦然． 2. ∆x为什么不等于0？可以小于0吗？∆y呢？ 从代数式看，分母不能为0；从实际意义看，∆x=0表示水平方向没有发生位移，因而竖直方向也没有发生位移，即物体没有移动，不能反映陡峭程度． ∆y可以为0，其含义是这段山路的起点和终点一样高，反之亦然．∆x和∆y均可正可负． 3. 平均变化率可以为0吗？其正负表示什么含义？ 可以为0，表示始点和终点在同一水平高度；正表示上升，负表示下降． 4. 注意理解∆x和∆y的对应关系． △x＝x－x0，△y＝y－y0＝f(x)－f(x0)． 5. 函数y=f(x)在x0−∆x到x0+∆x之间的平均变化率如何表示？ ． 6. 函数的平均变化率与直线的斜率有什么关系？ 函数在某一段的平均变化率，在数值上等于连接这一段的始点与终点的直线的斜率，即点与点连线的斜率，亦即曲线的割线的斜率．这是函数平均变化率的几何意义，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势． ＝＝＝＝. 加深对函数的平均变化率的思辨，进一步理解函数的平均变化率的概念． 概念的 巩固 例 求函数y=x在x0到x0+∆x之间的平均变化率． 解：当自变量从x0变到x0+∆x时，函数的平均变化率为 ． 思考与总结： （1）函数y=2x在x0到x0+∆x之间的平均变化率是什么？你有什么发现？ 函数y=2x在x0到x0+∆x之间的平均变化率是2. 我们发现，一次函数在任何一个区间内的平均变化率等于它的一次项系数，几何意义就是直线的斜率． （2）求函数的平均变化率的