专题10 导数解答题的技巧和方法（2）-名师揭秘2020年高考数学冲刺（理）

专题10导数解答题的技巧和方法（2） [高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等． 考点一　导数的几何意义及定积分 [核心提炼] 1．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．4个易出错的导数公式 (1)(sin x)′＝cos x. (2)(cos x)′＝－sin x. (3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)． (4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)． [规律方法] 　曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及求解方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率k，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程． 考点二　利用导数研究函数的单调性 [核心提炼] 　导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性． [规律方法] 　求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集： (1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论． (2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． [注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制． 考点三　利用导数研究函数的极值(最值) [核心提炼] 导数与函数的极值、最值的关系 (1)若在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值． (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得. [规律方法] 利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 【题型】 一．函数的单调性求参数 二．极值与参数 三．最值与参数 四．极值点偏移 五．恒成立问题求参数 【方法规律总结】 一．函数的单调性求参数 例1．已知函数. （1）当时，求证：函数在上单调递增； （2）当时，讨论函数的零点的个数. 练习1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 练习2．已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若，证明：当时，． 练习3．已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围. 二．极值与参数 例2. 1．已知函数. （1）若为的极值点，且（），求的值. （2）求证：当时，有唯一的零点. 练习1．已知函数. （1）当时，求函数的极大值与极小值； （2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值. 三．最值与参数 例3．设函数 （1）若是函数的一个极值点，求函数的单调区间； （2）当时，对于任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围. 练习1．已知函数，其中. （1）当时，若直线是曲线的切线，求的最大值； （2）设，函数有两个不同的零点，求的最大整数值.（参考数据） 四．极值点偏移 例4.．已知函数. （1）求函数的最值； （2）函数图像在点处的切线斜率为有两个零点，求证：. 练习1．已知函数有两个极值点. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）求证：； （III）求证：. 练习2