专题11 导数解答题的技巧和方法（3）-名师揭秘2020年高考数学冲刺（理）

专题11导数解答题的技巧和方法（3） [高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等． 考点一　导数的几何意义及定积分 [核心提炼] 1．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．4个易出错的导数公式 (1)(sin x)′＝cos x. (2)(cos x)′＝－sin x. (3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)． (4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)． [规律方法] 　曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及求解方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率k，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程． 考点二　利用导数研究函数的单调性 [核心提炼] 　导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性． [规律方法] 　求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集： (1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论． (2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． [注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制． 考点三　利用导数研究函数的极值(最值) [核心提炼] 导数与函数的极值、最值的关系 (1)若在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值． (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得. [规律方法] 利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 【题型】 一、任意存在问题 二．存在性问题 三．恒成立问题 四．零点问题 五．多次求导 六．换元法的应用 七．导函数为零的替代 八．多变量问题的主变元 【方法规律总结】 一．任意存在问题 例1.设 ， ( 为与自变量 无关的正实数). （1）证明：函数 与 的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； （2）是否存在实数 ，使得 对任意的 恒成立，若存在，求出 的取值范围，否则说明理由. 二．存在性问题 例2已知函数 . (1)求 的极大值； (2)当 时，不等式 恒成立，求 的最小值； (3)是否存在实数 ，使得方程 在 上有唯一的根，若存在，求出所有 的值，若不存在，说明理由. 三．恒成立问题 例3. 已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若对任意的 ，当 时，都有 恒成立，求最大的整数 . （参考数据： ） 练习1已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，且 ，求实数 的取值范围. 练习2设函数，，其中． （1）若存在，使得，求整数的最大值； （2）若对任意的，都有，求的取值范围． 四．零点问题 例4. 已知函数 . （1）当 时，设 ， 为 的两个不同极值点，证明： ； （2）设 ， 为 的两个不同零点，证明： . 五．多次求导 例5. 已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)若 有两个极值点 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 练习1. 已知