专题11 圆的方程-2020年高一数学春季课程教案（苏教版）

第11讲 圆的方程 概 述 适用学科 高中数学 适用年级 高一 适用区域 苏教版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.圆的标准方程及其求法 2.圆的一般方程及其特点 3.圆的一般方程的求法 4.点与圆的位置关系 学习目标 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与圆的一般方程. 2.会根据条件求圆的标准方程和一般方程. 学习重点 圆的标准方程与圆的一般方程的理解;根据条件求圆的标准方程和一般方程. 学习难点 根据条件求圆的标准方程和一般方程. 【教学建议】 在初中，学生们就学过圆及它的一些性质和定理的应用，高中则进一步学习圆的方程。是学生系统学习直线方程后的平面解析几何基础部分的第二个知识点，为下一步学习平面解析几何其他部分奠定基础. 对于圆的方程，学生的学习困难主要在解题思想方面： 首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题；分析代数问题的几何含义，最终解决几何问题。这种思想贯穿平面解析几何解题教学的始终，而代数法和几何法大多会同时出现在一道题的解法中，开始学习用代数法和几何法解决问题，这样的转变对高一的学生是比较困难的；帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法. 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 1、复习预习 （1）初中圆的定义 （2）两点间的距离公式 两点间距离公式： 2、观察引入 同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗?圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容. 设计意图：由初中知识自然过度到今天要学的知识，对初中知识进行深化，激起学生新的认知冲突，从而调动学生积极性. 3、步步深化 问题1：已知两点,如何求它们之间的距离?若已知,,又如何求它们之间的距离? 问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆? 问题3：图中哪个点是定点？哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点? 设计意图：通过启发式提问,实现学生从图形语言到文字语言到符号语言多方面研究圆,实现“形”到“数”的转换,从而会用方程形式来描述圆. 二、知识讲解 考点1 圆的方程 (1)标准方程： 其中圆心为，半径为. 特别地，以原点为圆心，半径为的圆的标准方程为. (2)一般方程：. 其中圆心为,半径为. 方程可变形为 ,故有： 当时，方程表示以 为圆心，为半径的圆； 当时，方程表示一个点； 当时，方程不表示任何图形． 考点2 点与圆的位置关系 与圆的位置关系 (1)若 ,则点在圆外； (2)若，则点在圆上； (3)若，则点在圆内． 三 、例题精析 例题1 【题干】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______． 【答案】；5． 【解析】由题意，得．当时方程为，即 ，圆心为，半径为5；当时方程为， 不表示圆． 例题2 【题干】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A.(2，3)，3 B.(－2，3)， C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)， 【答案】　D 【解析】　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝. 例题3 【题干】若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，1) 　　 B.(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　　 D.a＝±1 【答案】　A 【解析】　因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 例题4 【题干】过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 【答案】　C 【解析】　设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 例题5 【题干】已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为___________． 【答案】 【解析】设圆心为，则由题意得，解得，所以圆的半径为，故圆的方程为． 例题6 【题干】已知△的三个项点坐标分别是，，，求△外接圆的方程． 【答案】 【解析】解法一：设所求圆的方程是 ① 因为，，都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是 可解得 所以△ABC的外接圆的方程是． 解法二：因为△外接圆的圆心既在的垂直平分线上，也在的垂直平分线