专题12 直线与圆-2020年高一数学春季课程教案（苏教版）

第12讲 直线与圆 概 述 适用学科 高中数学 适用年级 高一 适用区域 苏教版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 直线和圆的位置关系的判定，求圆的切线方程，直线和圆相交弦长 学习目标 直线和圆的位置关系的判定，会求圆的切线方程，会求直线和圆相交弦长 学习重点 求圆的切线方程，弦长公式 学习难点 转化为点到直线距离问题 【教学建议】 通过一系列例题，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．让学生通过观察图形， 理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 【知识导图】 教学过程 一、导入 1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：（1）相交，有一两个公共点；（2）相切，只有一个公共点；（3）相离，没有公共点。 2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 3.弦长公式： 二、知识讲解 考点1 直线和圆的位置关系的判定 设直线,圆圆心到直线的距离 1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r ① ② ③ 2.看直线与圆组成的方程组有无实数解: （1）有解，直线与圆有公共点.有一组则相切；有两组则相交 （2）无解，则相离 考点2 弦长公式 弦长公式： （平面几何法）（解析法） 直线斜率存在 斜率不存在 三 、例题精析 例题1 【题干】直线与圆的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．随的变化而变化 【答案】 【解析】∵直线恒过定点，又点在圆的内部，故直线与圆相交． 例题2 【题干】已知直线l：3x + y – 6 = 0和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系. 【答案】相交 【解析】解法一：联立方程组：， 因为判别式，所以直线l与圆C相交，有两个公共点. 解法二：圆心C（0，1），半径，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交. 例题3 【题干】已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 【答案】B 【解析】因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交. 例题4 【题干】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( ) A．36 B．18 C．6 D．5 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是． 例题5 【题干】过点作直线与圆交于，两点，若，则直线的方程为(　　) A． B．或 C． D．或 【答案】 【解析】圆的标准方程为，由知，圆心到直线的距离． 当直线的斜率不存在，即直线的方程为时，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．则有，∴． 此时直线的方程为． 例题6 【题干】在平面直角坐标系中，已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，圆的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，问题转化为原点(0,0)到直线的距离小于1. 即＜1，，的取值范围是. 例题7 【题干】已知圆心为的圆过点和，且圆心在直线上． （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）设所求的圆的方程为 依题意得： 解得： 所以所求的圆的方程为： （2）设所求的切线方程的斜率为，则切线方程为，即 又圆心到切线的距离 又由，即，解得 ∴所求的切线方程为若直线的斜率不存在时，即也满足要求． ∴综上所述，所求的切线方程为或 例题8 【题干】已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点. (1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径； (2)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由； (3)当直线l平行移动时，求△CAB面积的最大值． 【答案】(1) (x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3，（2）y＝x＋1或y＝x－4，（3） 【解析】(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3． (2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2) ∵以AB为直径的圆过圆心O，∴OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0． ，消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0． Δ＞0得－3－3＜m＜3－3．由根与系数关系得： x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2