专题13 圆与圆-2020年高一数学春季课程教案（苏教版）

第13讲 圆与圆 概述 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 苏教版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 两圆位置关系的判定 学习目标 1．理解圆与圆的位置关系的种类． 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系． 3．体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性． 学习重点 圆与圆的位置关系的判断方法；解决圆与圆的相关 问题. 学习难点 用直线和圆的方程解决问题. 【知识导图】 【教学建议】 由于圆与圆的五种位置关系学生已经非常熟悉，结合本节知识的特点，教学时，建议教师可采用启发式教学法，大胆放手，让学生通过自主的学习进行归纳总结，教师在此过程中适时引导和点拨(如方程解的个数同圆的位置关系是否一一对应)，让学生明确用“方程组”思想与用“几何法”探求圆与圆位置关系的异同，优化学生的思维．为进一步熟练掌握解析法的思想，教师可通过例题及练习辅助教学，澄清学生学习本节知识的疑难点，提升学生的认知能力． 学习过程 一、导入 两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含 如何判断圆与圆的位置关系 方法一（几何法）：设两圆连心的距离为，两圆的半径为R、r，则 ①两圆外离d>R+r 没有公共点 ②两圆外切 d=R+r 有唯一的公共点 ③两圆相交 R-r<d<R+r(R≥r) 有两个公共点 ④两圆内切 d=R-r (R>r) 有唯一的公共点 ⑤两圆内含 d<R-r (R>r) 没有公共点 二、知识讲解 考点1 圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 考点2 相交弦方程 两个圆的方程作差，即可得它们公共弦所在的直线方程 三、例题精析 例题1 【题干】已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( ) A．{1，－1} B．{3，－3} C．{1，－1,3，－3} D．{5，－5,3，－3} 【答案】C　 【解析】因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1；外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}． 例题2 【题干】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆.及其上一点．设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程。 【答案】： 【解析】：在直线上，设， ∵圆与轴相切，∴圆为：, 又圆与圆外切，圆：，即圆：， ∴，解得，∴圆的标准方程为 例题3 【题干】若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________. 【答案】　8 【解析】　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1， 圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2， ∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点， ∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8. 例题4 【题干】若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　) A.3 B.4 C.2 D.8 【答案】　B 【解析】　连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4. 例题5 【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1,2)． (1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程； (2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】　(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为＝1.设