广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学（文科）试题 2020.5（图片版）

第 1页（共11页） 2020 年深圳市高三第一次调研考试 文科数学试题参考答案及评分参考 第Ⅰ卷 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.D 10.C 11. A 12.B 12.【解析】由图像，可得 30 ( ) 2f x  ，所以 ( )913 ,x  ，且 ( )3 1 3 3 3 3( )= ( )= 3x f x x f x x x   − ， 令 3t x= ，则 ( ) 3 2 3 1( ) ( )= 3 1,3g t x f x t t t=  − + ， ，故 ( ) 2( ) 3 6 3 2g t t t t t = − + = − − ， 故当 2=t 时， max( ) (2) 4g t g= = . 法二：利用均值不等式： ( ) ( ) 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 ( )= ( )= 3 =4 3 4 =4 2 2 3 x f x x f x x x x x x        −    −         . 二、填空题 13. 5 ; 14. 2 11 ; 15. 32 ; 16. 3 . 16.【解法一】，设 MFO  = ,因为 , ,OF c OM a= = 所以 , 2 .MF b MN b= = 所以 cos ,sin , b a c c  = = 2 23 3 ,N N b c ab x y c c − = = 又点 N 在直线 b y x a = 上，所以整理得到 2 23a c= ，又 1e  ，所以 3e = . 【解法二】设 MOF  = ，则 π 2MON  = − ，在 Rt OMN 中，有 | | tan | | MN MON OM  = ， 所以 2 tan 2 ) b a  − =（ ，由此可求得 2 22a b= ，从而可求得 3e = . 【命题意图】考查学生直线与圆的位置关系，双曲线的基本性质等知识点，考查学生数形结 合，方程的数学思想，体现学生直观想象，数学运算等核心素养； 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 记等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知公差不为零， 3 15S = ，且 1a 、 3a 、 11a 成等比数 列． （1）求{ }na 的通项公式； 第 2页（共11页） （2）设 5 ( ) 6 n n nb a=  ，试问数列{ }nb 是否存在最大项？若存在，求出最大项序号 n的值； 反之，请说明理由． 解：（1）由 3 15S = 可得 1 5a d+ = ，① ……………………………………1分 又 2 3 1 11a a a=  ， 2 1 1 1( 2 ) ( 10 )a d a a d + = + …………………2分 整理得 2 16 4 ( 0)a d d d=  ，所以 13 2a d= ，② ……………………3分 联立①②可得 1 2a = ， 3d = ，………………………………………………5分 所以 3 1na n= − ．………………………………………………………………6 分 （2） 5 (3 1) ( ) 6 n nb n= −  ， ………………………………………………7分 1 1 5 5 (3 2) ( ) (3 1) ( ) 6 6 n n n nb b n n + + − = +  − −  5 16 3 ( ) 6 6 n n−=  ，………………9分 若 1 0n nb b+ −  ，则 16 1 5 3 3 n  = ；……………………………………………10分 若 1 0n nb b+ −  ，则 16 1 5 3 3 n  = ；……………………………………………11分 因此 1 5 6 7 1> n nb b b b b b−     …… …… ， 所以 6b 最大，即最大项序号 6n = ．……………………………………12分 【命题意图】本题主要考查以两个常见（等差、等比）的数列模型为载体，考查基本量 之间的关系，求数列的最大项，能够认清数列的本质就是特殊的函数，把研究函数单调性、 最值迁移到数