北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（一）（一模）数学试题

丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一） 高三数学 参考答案及评分参考 2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C A C D D A 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．25 12．3 ；2 13．① = 4 \* GB3 ④（或③ = 6 \* GB3 ⑥） 14. ① = 2 \* GB3 ② 15. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分） 解：（Ⅰ） 由余弦定理 ， 得 EMBED Equation.DSMT4 . 所以 . …………6分 （Ⅱ） 由 可知， ，即 . . 因为 ，所以 . 故 . 因此 . 于是 . …………14分 17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . …………3分 （Ⅱ）取 的中点 ，连接 . 在直角梯形 中， 易知 ，且 . 在 △ 中，由勾股定理得 . 在△ 中，由勾股定理逆定理可知 . 又因为平面 平面 ， 且平面 平面 ， 所以 平面 . …………7分 （Ⅲ）取 的中点 ，连接 ， . 所以 ， 因为 平面 ， 所以 平面 . 因为 ， 所以 . 如图建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， . 易知平面 的一个法向量为 . 假设在棱 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 . 不妨设 ， 所以 ， 设 为平面 的一个法向量， 则 即 令 ， ，所以 . 从而 . 解得 或 . 因为 ，所以 . 由题知二面角 为锐二面角. 所以在棱 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 ， 此时 . …………14分 18．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事件 ， . 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率为 . …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三个社区负责现场值班值守 的概率分别为 . X的所有可能取值为0，1，2，3. , , , . X的分布列为： X 0 1 2 3 P …………11分 （Ⅲ） …………14分 19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 . 由题知 ， 解得 . …………4分 （Ⅱ）当 时， ， 所以 . 当 时， ， 在区间 上单调递减； 当 时， ， 在区间 上单调递增