等差数列函数性质的解题技巧

等差数列函数性质的解题技巧 数支配着宇宙。——毕达哥拉斯 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。——华罗庚 函数思想是数学思想的重要组成部分,也是中学数学中最基本、最重要的数学思想之一。所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究实际问题或数学问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等），从而更快更好地解决问题。数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集 ）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。因此，有些数列的问题可用函数思想来解决。 【秒杀技巧】 一、单调性 1.已知数列的通项公式为，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 解析：B. 方法一：分离常数法。 方法二：分子分母同时除以n，构造反比例函数函数。 分法三：利用数列单调性定义，作差法。 方法四：导数法。 二、最值性 2．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则该数列的最大项为(　　) A．第2项B．第3项C．第2项或第3项 D．不存在 答案　C 解析　易知，an＝.函数y＝x＋(x>0)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，故数列an＝(n∈N*)在区间(0，)上递增，在区间(，＋∞)上递减． 又2<<3，且a2＝a3，所以最大项为第2项或第3项． 3.在数列{an}中，an＝，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解　an＝＝1＋，设f(x)＝1＋， 则f(x)在区间(－∞，)与(，＋∞)上都是减函数．因为44<<45， 故数列{an}在0<n≤44，n∈N*时递减，在n≥45时递减，借助f(x)＝1＋的图象知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44. 三、周期性 4. 数列满足，则＿＿． 解析：穷举法周期数列， 5.已知数列满足 ， ， ， ，则 ， ， . 解析：穷举法周期数列，1,1,0. 【典型例题】 例1 数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．求数列{an}的通项公式． 解：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)， 整理得－＝3(n≥2)，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． 由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n∈N*. 例2 在数列中，，，数列的前项和满足，求数列的通项公式. 解：∴∴ , 即 ∴ 即 则 当时，也成立， ∴ 例3记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据递推公式，以及之间的关系，即可容易求得，再根据数列的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求. 【详解】 当时，，解得.所以. 因为， 则， 两式相减，可得， 即， 则.两式相减， 可得. 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以，则. 令，则. 当时，，数列单调递减， 而，，， 故，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题. 例4.在等差数列中，，. (Ⅰ)求数列的通项； (Ⅱ)对任意的，将数列中落入区间内的项的个数记为，若恒成立，求正整数的最小值. 解：(Ⅰ)由 ，得，即， 再由，即 解方程组，得 (Ⅱ) ，，即. 由恒