(普查练习)第27课 数列求和及综合问题-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第27课 数列求和及综合问题 普查与练习27　　　　数列求和及综合问题 1．数列求和的方法 a．应用公式法求数列的和 (1)(2019全国Ⅱ，12分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (Ⅰ)求{an}的通项公式； 答案：an＝22n－1 解：设{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2＋16， 得a1q2＝2a1q＋16，即2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0， 解得q＝－2(舍去)或q＝4， 所以数列{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(6分) (Ⅱ)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和． 答案：n2 解：由(Ⅰ)得bn＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1， 所以数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝＝n2.(12分) (2)(2021福建模拟，10分)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t. (Ⅰ)求t的值； 答案：t＝－1 解：令n＝1，则由Sn＝an＋1＋t可得a1＝S1＝a2＋t，a2＝1－t. 当n≥2时，由Sn＝an＋1＋t可得Sn－1＝an＋t， 所以an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，即an＋1＝2an.(4分) 依题意，{an}为等比数列，故公比q＝2，故a2＝2a1＝2＝1－t，得t＝－1.(5分) (Ⅱ)求数列{(cosnπ)·an}的前n项和． 答案： 解：由(Ⅰ)可知{an}为首项等于1，公比等于2的等比数列，故an＝2n－1， 故{(cosnπ)·an}为首项等于－1，公比等于－2的等比数列，(8分) 故数列{(cosnπ)·an}的前n项和为＝.(10分) b．应用分组转化法求数列的和 (3)(2019天津，14分)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝ 2a2－2，b3＝2a3＋4. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式； 答案：an＝3n＋1, bn＝3×2n 解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 依题意得即 已知q≠0，所以解得(4分) 所以an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n. 故{an}的通项公式为an＝3n＋1，{bn}的通项公式为bn＝3×2n.(7分) (Ⅱ)设数列{cn}满足c1＝1，cn＝其中k∈N*. (ⅰ)求数列的通项公式； 答案：＝9×4n－1 解：因为＝ (bn－1)＝(3×2n＋1)·(3×2n－1)＝9×4n－1， 所以数列的通项公式为＝9×4n－1.(9分) (ⅱ)求(n∈N*)． 答案：(n∈N*) 解：==+ ＝＋ ＝3×22n－1＋5×2n－1＋9×－n ＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)．(14分) (4)(2020山东济南模拟改编，15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n. (Ⅰ)求{an}的通项公式； 答案：an＝n 解：由Sn＝n2＋n可得a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n， 上式对n＝1也成立，所以an＝n.(5分) (Ⅱ)设bn＝ (ⅰ)求数列{bn}的前2n项和T2n； 答案：T2n＝n2＋ 解：由(Ⅰ)得bn＝＝ 所以T2n＝1＋22＋3＋24＋5＋26＋…＋(2n－1)＋22n ＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(22＋24＋26＋…＋22n) ＝n(1＋2n－1)＋n2＋.(10分) (ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn. 答案：Tn＝ 解：由(ⅰ)得T2n－1＝T2n－b2n＝n2＋－4n＝n2＋. 令k＝2n－1，则n＝，故Tk＝2＋； 令k＝2n，则n＝，由T2n＝n2＋得Tk＝2＋，　 所以Tn＝ (15分) (5)(2023改编，5分)在数列{an}中，a1＝－1，|an－an－1|＝2n－1(n∈N*，n≥2)，a2>0，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则a2023＝(　D　) A. B. C. D．－ 解析：因为a1＝－1，数列{a2n－1}单调递减，所以在数列{an}中，奇数项均为负数． 因为a2>0，数列{a2n}单调递增，所以在数列{an}中，偶数项均为正数． 又|an－an－1|＝2n－1(n∈N*，n≥2)，所以an－an－1＝(n≥2)． (法一)a2023＝(a2023－a2022)＋(a2022－a2021)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－22022＋22021－22020＋…＋21－1＝(－1)＋(－1)×(－2)＋(－1)×(－2)2＋…＋(－1)×(－2)2022＝＝－. 故选D.